Theorem ulmf2 24357

Description: Closure of a uniform limit of functions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ulmf2	⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))

Proof of Theorem ulmf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ulmpm 24356	. . . 4 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ))
2		ovex 6842	. . . . . 6 ⊢ (ℂ ↑𝑚 𝑆) ∈ V
3		zex 11598	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
4	2, 3	elpm2 8057	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ dom 𝐹 ⊆ ℤ))
5	4	simplbi 478	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((ℂ ↑𝑚 𝑆) ↑pm ℤ) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺 → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
7	6	adantl 473	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8		fndm 6151	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑍 → dom 𝐹 = 𝑍)
9	8	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → dom 𝐹 = 𝑍)
10	9	feq2d 6192	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → (𝐹:dom 𝐹⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ↔ 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆)))
11	7, 10	mpbid 222	1 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑍 ∧ 𝐹(⇝𝑢‘𝑆)𝐺) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  dom cdm 5266   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↑_𝑚 cmap 8025   ↑_pm cpm 8026  ℂcc 10146  ℤcz 11589  ⇝_𝑢culm 24349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-pm 8028  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900  df-ulm 24350

This theorem is referenced by:  ulmdvlem1  24373  ulmdvlem2  24374  ulmdvlem3  24375  mtestbdd  24378  mbfulm  24379  iblulm  24380  itgulm  24381  itgulm2  24382  lgamgulm2  24982  lgamcvglem  24986