MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmdv 24202
Description: If 𝐹 is a sequence of differentiable functions on 𝑋 which converge pointwise to 𝐺, and the derivatives of 𝐹(𝑛) converge uniformly to 𝐻, then 𝐺 is differentiable with derivative 𝐻. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmdv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmdv.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
ulmdv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmdv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
ulmdv.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
ulmdv.l ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
ulmdv.u (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
Assertion
Ref Expression
ulmdv (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = 𝐻)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧   𝑘,𝑋,𝑧   𝑘,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝐻(𝑘)   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem ulmdv
StepHypRef Expression
1 ulmdv.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 dvfg 23715 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
4 recnprss 23713 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 ulmdv.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
7 ulmdv.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
8 uzid 11740 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
10 ulmdv.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
119, 10syl6eleqr 2741 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑍)
12 ulmdv.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑋))
13 ulmdv.l . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝑋) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ⇝ (𝐺𝑧))
14 ulmdv.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻)
1510, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem2 24200 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) = 𝑋)
16 dvbsss 23711 . . . . . . . . . 10 dom (𝑆 D (𝐹𝑘)) ⊆ 𝑆
1715, 16syl6eqssr 3689 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑋𝑆)
1817ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘𝑍 𝑋𝑆)
19 biidd 252 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝑋𝑆𝑋𝑆))
2019rspcv 3336 . . . . . . . 8 (𝑀𝑍 → (∀𝑘𝑍 𝑋𝑆𝑋𝑆))
2111, 18, 20sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
225, 6, 21dvbss 23710 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) ⊆ 𝑋)
2310, 1, 7, 12, 6, 13, 14ulmdvlem3 24201 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧))
24 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
25 fvex 6239 . . . . . . . . . 10 (𝐻𝑧) ∈ V
2624, 25breldm 5361 . . . . . . . . 9 (𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧) → 𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
2723, 26syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
2827ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝑋𝑧 ∈ dom (𝑆 D 𝐺)))
2928ssrdv 3642 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ⊆ dom (𝑆 D 𝐺))
3022, 29eqssd 3653 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
3130feq2d 6069 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
323, 31mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
33 ffn 6083 . . 3 ((𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
3432, 33syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) Fn 𝑋)
35 ulmcl 24180 . . . 4 ((𝑘𝑍 ↦ (𝑆 D (𝐹𝑘)))(⇝𝑢𝑋)𝐻𝐻:𝑋⟶ℂ)
3614, 35syl 17 . . 3 (𝜑𝐻:𝑋⟶ℂ)
37 ffn 6083 . . 3 (𝐻:𝑋⟶ℂ → 𝐻 Fn 𝑋)
3836, 37syl 17 . 2 (𝜑𝐻 Fn 𝑋)
39 ffun 6086 . . . . 5 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
403, 39syl 17 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑆 D 𝐺))
4140adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑧𝑋) → Fun (𝑆 D 𝐺))
42 funbrfv 6272 . . 3 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑧(𝑆 D 𝐺)(𝐻𝑧) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑧) = (𝐻𝑧)))
4341, 23, 42sylc 65 . 2 ((𝜑𝑧𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑧) = (𝐻𝑧))
4434, 38, 43eqfnfvd 6354 1 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cc 9972  cr 9973  cz 11415  cuz 11725  cli 14259   D cdv 23672  𝑢culm 24175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ulm 24176
This theorem is referenced by:  pserdvlem2  24227
  Copyright terms: Public domain W3C validator