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Theorem ulmcaulem 24193
Description: Lemma for ulmcau 24194 and ulmcau2 24195: show the equivalence of the four- and five-quantifier forms of the Cauchy convergence condition. Compare cau3 14139. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmcau.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmcau.s (𝜑𝑆𝑉)
ulmcau.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmcaulem (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑗,𝑍,𝑘,𝑚,𝑥,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑗,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem ulmcaulem
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
21ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
32rexralbidv 3087 . . . 4 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤))
43cbvralv 3201 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤)
5 rphalfcl 11896 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
6 breq2 4689 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑥 / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
76ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑥 / 2) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
87rexralbidv 3087 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
98rspcv 3336 . . . . . . 7 ((𝑥 / 2) ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
105, 9syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
12 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
1312fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
1413oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑚 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧)) = (((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧)))
1514fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))))
1615breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1716ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
1817cbvralv 3201 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2))
1918biimpi 206 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2))
20 uzss 11746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
2120ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗))
22 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑗) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
24 r19.26 3093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
25 ulmcau.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
2726ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
28 ulmcau.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑍 = (ℤ𝑀)
2928uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3029adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
3128uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑘𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚𝑍)
3230, 31sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑚𝑍)
3327, 32ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
34 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
3635ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑚)‘𝑧) ∈ ℂ)
3726ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
3837ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
39 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
4140ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
4236, 41abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
4342breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
4443biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
45 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
4626, 29, 45syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
4746anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
49 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
5150ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
52 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
5352ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑥 ∈ ℝ)
5453ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
55 abs3lem 14122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑚)‘𝑧) ∈ ℂ) ∧ (((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5651, 36, 41, 54, 55syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5744, 56sylan2d 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5857ralimdva 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
5924, 58syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → ((∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6059expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6160an32s 863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6261ralimdva 2991 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6323, 62syld 47 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6463impancom 455 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6564an32s 863 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6665ralimdva 2991 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6766ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥)))
6867com23 86 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥)))
6919, 68mpdi 45 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
7069reximdva 3046 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
7111, 70syld 47 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
7271ralrimdva 2998 . . 3 (𝜑 → (∀𝑤 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
734, 72syl5bi 232 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
74 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
7574, 28eleq2s 2748 . . . . . . . 8 (𝑗𝑍𝑗 ∈ ℤ)
76 uzid 11740 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
7877adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
79 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑗))
80 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
8180fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑗)‘𝑧))
8281oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
8382fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
8483breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8584ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8679, 85raleqbidv 3182 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8786rspcv 3336 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
8878, 87syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
89 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
9089fveq1d 6231 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
9190oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → (((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))
9291fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))))
9392breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥))
9493ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥))
9594cbvralv 3201 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥)
9625ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
9897, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
9998ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
10025, 29, 45syl2an 493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
101100anassrs 681 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
102101, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
103102ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
10499, 103abssubd 14236 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))))
105104breq1d 4695 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
106105ralbidva 3014 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
107106ralbidva 3014 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
10895, 107syl5bb 272 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
10988, 108sylibd 229 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
110109reximdva 3046 . . 3 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
111110ralimdv 2992 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
11273, 111impbid 202 1 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cc 9972  cr 9973   < clt 10112  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  ulmcau  24194  ulmcau2  24195
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