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Theorem ulmcau 24369
Description: A sequence of functions converges uniformly iff it is uniformly Cauchy, which is to say that for every 0 < 𝑥 there is a 𝑗 such that for all 𝑗𝑘 the functions 𝐹(𝑘) and 𝐹(𝑗) are uniformly within 𝑥 of each other on 𝑆. This is the four-quantifier version, see ulmcau2 24370 for the more conventional five-quantifier version. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmcau.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmcau.s (𝜑𝑆𝑉)
ulmcau.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmcau (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑥,𝑧   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ulmcau
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑝 𝑞 𝑟 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5457 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∃𝑔 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔))
21ibi 256 . . 3 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → ∃𝑔 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔)
3 ulmcau.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 ulmcau.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 ulmcau.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
76ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8 eqidd 2772 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
9 eqidd 2772 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑔𝑧) = (𝑔𝑧))
10 simplr 752 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔)
11 rphalfcl 12061 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
1211adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
133, 5, 7, 8, 9, 10, 12ulmi 24360 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2))
14 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1514, 3syl6eleq 2860 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
16 eluzelz 11898 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
17 uzid 11903 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
18 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1918fveq1d 6334 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑗)‘𝑧))
2019fvoveq1d 6815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))))
2120breq1d 4796 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)))
2221ralbidv 3135 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)))
2322rspcv 3456 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)))
2415, 16, 17, 234syl 19 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)))
25 r19.26 3212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)))
267ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
2726adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
28 elmapi 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
3029ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
31 ulmcl 24355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔𝑔:𝑆⟶ℂ)
3231ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑔:𝑆⟶ℂ)
3332ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑔𝑧) ∈ ℂ)
3430, 33abssubd 14400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) = (abs‘((𝑔𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))))
3534breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑔𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
3635biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → (abs‘((𝑔𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
373uztrn2 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
38 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
397, 37, 38syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
4039anassrs 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
41 elmapi 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4342ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
44 rpre 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4544ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
46 abs3lem 14286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ) ∧ ((𝑔𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝑔𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
4743, 30, 33, 45, 46syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝑔𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
4836, 47sylan2d 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
4948ancomsd 456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5049ralimdva 3111 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5125, 50syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5251expdimp 440 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5352an32s 631 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5453ralimdva 3111 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5554ex 397 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥)))
5655com23 86 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥)))
5724, 56mpdd 43 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5857reximdva 3165 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5913, 58mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥)
6059ralrimiva 3115 . . . . 5 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥)
6160ex 397 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
6261exlimdv 2013 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
632, 62syl5 34 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
64 ulmrel 24352 . . . 4 Rel (⇝𝑢𝑆)
65 ulmcau.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑉)
663, 4, 65, 6ulmcaulem 24368 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6766biimpa 462 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥)
68 rphalfcl 12061 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
69 breq2 4790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑟 / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
7069ralbidv 3135 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑟 / 2) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
71702ralbidv 3138 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑟 / 2) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
7271rexbidv 3200 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑟 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
73 ralcom 3246 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2))
74 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑘 → (ℤ𝑞) = (ℤ𝑘))
75 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹𝑞)‘𝑤) = ((𝐹𝑞)‘𝑧))
76 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
7775, 76oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑧 → (((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤)) = (((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
7877fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
7978breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑧 → ((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
8079cbvralv 3320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2))
81 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑘 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))
8281fveq1d 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑘 → ((𝐹𝑞)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
8382fvoveq1d 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑘 → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
8483breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑘 → ((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
8584ralbidv 3135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑘 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
8680, 85syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑘 → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
8774, 86raleqbidv 3301 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑘 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
8873, 87syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑘 → (∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
8988cbvralv 3320 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2))
90 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑗 → (ℤ𝑝) = (ℤ𝑗))
9190raleqdv 3293 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
9289, 91syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑗 → (∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
9392cbvrexv 3321 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2))
9472, 93syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑟 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2)))
9594rspccva 3459 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2))
9667, 68, 95syl2an 583 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2))
973uztrn2 11906 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑞𝑍)
98 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑞) = (ℤ𝑞)
99 eluzelz 11898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑞 ∈ ℤ)
10099, 3eleq2s 2868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞𝑍𝑞 ∈ ℤ)
101100ad2antlr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑞 ∈ ℤ)
10268adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
103102ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
104 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑞𝑍)
1053uztrn2 11906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → 𝑚𝑍)
106104, 105sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → 𝑚𝑍)
107 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
108107fveq1d 6334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
109 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))
110 fvex 6342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ∈ V
111108, 109, 110fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
112106, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
1136adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
114113ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
115 elmapi 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
117116ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝐹𝑛)‘𝑦) ∈ ℂ)
118117an32s 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑦) ∈ ℂ)
119 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))
120118, 119fmptd 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)):𝑍⟶ℂ)
121120ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑞𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) ∈ ℂ)
122 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
123 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑗)‘𝑧) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
124122, 123oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑦 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
125124fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 𝑦 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
126125breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑦 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
127126rspcv 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦𝑆 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
128127ralimdv 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝑆 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
129128reximdv 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑆 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
130129ralimdv 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑆 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
131130impcom 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥𝑦𝑆) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥)
132131adantll 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥)
133 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑞 = 𝑘 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) = ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘))
134133fvoveq1d 6815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑞 = 𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) = (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))))
135134breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑞 = 𝑘 → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟))
136135cbvralv 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟)
137 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑗 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝) = ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))
138137oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑝 = 𝑗 → (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝)) = (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗)))
139138fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑝 = 𝑗 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) = (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))))
140139breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑝 = 𝑗 → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟))
14190, 140raleqbidv 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟))
142136, 141syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑗 → (∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟))
143142cbvrexv 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟)
144 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
145144fveq1d 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
146 fvex 6342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹𝑘)‘𝑦) ∈ V
147145, 119, 146fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
14837, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
149 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
150149fveq1d 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
151 fvex 6342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹𝑗)‘𝑦) ∈ V
152150, 119, 151fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
153152adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
154148, 153oveq12d 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗)) = (((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
155154fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
156155breq1d 4796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟))
157156ralbidva 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟))
158157rexbiia 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟)
159143, 158bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟)
160 breq2 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
161160ralbidv 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
162161rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑥 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
163159, 162syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑥 → (∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
164163cbvralv 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥)
165132, 164sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟)
166 fvex 6342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℤ𝑀) ∈ V
1673, 166eqeltri 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 ∈ V
168167mptex 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ V
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ V)
1703, 121, 165, 169caucvg 14617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
171170ralrimiva 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → ∀𝑦𝑆 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
172171ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) → ∀𝑦𝑆 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
173 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑛)‘𝑤))
174173mpteq2dv 4879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
175174eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ∈ dom ⇝ ))
176175rspccva 3459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝑆 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑤𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
177172, 176sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
178 climdm 14493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))
179177, 178sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))
18098, 101, 103, 112, 179climi2 14450 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2))
18198r19.29uz 14298 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)))
18298r19.2uz 14299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑚 ∈ (ℤ𝑞)((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)))
183181, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑚 ∈ (ℤ𝑞)((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)))
1846ad2antrr 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
185184ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) → (𝐹𝑞) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
186 elmapi 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑞) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑞):𝑆⟶ℂ)
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) → (𝐹𝑞):𝑆⟶ℂ)
188187ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑞)‘𝑤) ∈ ℂ)
189188adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → ((𝐹𝑞)‘𝑤) ∈ ℂ)
190 climcl 14438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) ∈ ℂ)
191179, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) ∈ ℂ)
192191adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) ∈ ℂ)
1936ad5antr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
194193, 106ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → (𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
195 elmapi 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
197 simplr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → 𝑤𝑆)
198196, 197ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → ((𝐹𝑚)‘𝑤) ∈ ℂ)
199 rpre 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
200199ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
201 abs3lem 14286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹𝑞)‘𝑤) ∈ ℂ ∧ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) ∈ ℂ) ∧ (((𝐹𝑚)‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
202189, 192, 198, 200, 201syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → (((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
203202rexlimdva 3179 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (∃𝑚 ∈ (ℤ𝑞)((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
204183, 203syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
205180, 204mpan2d 674 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
206205ralimdva 3111 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) → (∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
20797, 206sylan2 580 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝))) → (∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
208207anassrs 458 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝𝑍) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ𝑝)) → (∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
209208ralimdva 3111 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝𝑍) → (∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → ∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
210209reximdva 3165 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → ∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
21196, 210mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟)
212211ralrimiva 3115 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟)
2134adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
214 eqidd 2772 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ (𝑞𝑍𝑤𝑆)) → ((𝐹𝑞)‘𝑤) = ((𝐹𝑞)‘𝑤))
215174fveq2d 6336 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))) = ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))
216 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)))) = (𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))
217 fvex 6342 . . . . . . . 8 ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) ∈ V
218215, 216, 217fvmpt 6424 . . . . . . 7 (𝑤𝑆 → ((𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))‘𝑤) = ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))
219218adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))‘𝑤) = ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))
220 climdm 14493 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))
221170, 220sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))
222 climcl 14438 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))) → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))) ∈ ℂ)
223221, 222syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))) ∈ ℂ)
224223, 216fmptd 6527 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → (𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)))):𝑆⟶ℂ)
22565adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → 𝑆𝑉)
2263, 213, 113, 214, 219, 224, 225ulm2 24359 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)(𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
227212, 226mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)(𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)))))
228 releldm 5496 . . . 4 ((Rel (⇝𝑢𝑆) ∧ 𝐹(⇝𝑢𝑆)(𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
22964, 227, 228sylancr 575 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
230229ex 397 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆)))
23163, 230impbid 202 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  Rel wrel 5254  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  cc 10136  cr 10137   < clt 10276  cmin 10468   / cdiv 10886  2c2 11272  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  abscabs 14182  cli 14423  𝑢culm 24350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-ulm 24351
This theorem is referenced by:  ulmcau2  24370  mtest  24378
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