MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ulmcau Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ulmcau 24130
Description: A sequence of functions converges uniformly iff it is uniformly Cauchy, which is to say that for every 0 < 𝑥 there is a 𝑗 such that for all 𝑗𝑘 the functions 𝐹(𝑘) and 𝐹(𝑗) are uniformly within 𝑥 of each other on 𝑆. This is the four-quantifier version, see ulmcau2 24131 for the more conventional five-quantifier version. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmcau.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmcau.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmcau.s (𝜑𝑆𝑉)
ulmcau.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
Assertion
Ref Expression
ulmcau (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝑧,𝐹   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥,𝑧   𝑆,𝑗,𝑘,𝑥,𝑧   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥,𝑧   𝑗,𝑀,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ulmcau
Dummy variables 𝑔 𝑚 𝑛 𝑝 𝑞 𝑟 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5308 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∃𝑔 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔))
21ibi 256 . . 3 (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → ∃𝑔 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔)
3 ulmcau.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 ulmcau.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 ulmcau.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
76ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
8 eqidd 2621 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
9 eqidd 2621 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑔𝑧) = (𝑔𝑧))
10 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔)
11 rphalfcl 11843 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
1211adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
133, 5, 7, 8, 9, 10, 12ulmi 24121 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2))
14 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
1514, 3syl6eleq 2709 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
16 eluzelz 11682 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
17 uzid 11687 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
18 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1918fveq1d 6180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑗)‘𝑧))
2019oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧)) = (((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧)))
2120fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))))
2221breq1d 4654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)))
2322ralbidv 2983 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)))
2423rspcv 3300 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)))
2515, 16, 17, 244syl 19 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)))
26 r19.26 3060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) ↔ (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)))
277ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
29 elmapi 7864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹𝑗) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗):𝑆⟶ℂ)
3130ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ)
32 ulmcl 24116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔𝑔:𝑆⟶ℂ)
3332ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑔:𝑆⟶ℂ)
3433ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (𝑔𝑧) ∈ ℂ)
3531, 34abssubd 14173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) = (abs‘((𝑔𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))))
3635breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑔𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
3736biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → (abs‘((𝑔𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)))
383uztrn2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
39 ffvelrn 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
407, 38, 39syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
4140anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
42 elmapi 7864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
4443ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
45 rpre 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
4645ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 abs3lem 14059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑧) ∈ ℂ) ∧ ((𝑔𝑧) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝑔𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
4844, 31, 34, 46, 47syl22anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘((𝑔𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
4937, 48sylan2d 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5049ancomsd 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5150ralimdva 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5226, 51syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5352expdimp 453 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5453an32s 845 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5554ralimdva 2959 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5655ex 450 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥)))
5756com23 86 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥)))
5825, 57mpdd 43 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
5958reximdva 3014 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝑔𝑧))) < (𝑥 / 2) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
6013, 59mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥)
6160ralrimiva 2963 . . . . 5 ((𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥)
6261ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
6362exlimdv 1859 . . 3 (𝜑 → (∃𝑔 𝐹(⇝𝑢𝑆)𝑔 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
642, 63syl5 34 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
65 ulmrel 24113 . . . 4 Rel (⇝𝑢𝑆)
66 ulmcau.s . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑉)
673, 4, 66, 6ulmcaulem 24129 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥))
6867biimpa 501 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥)
69 rphalfcl 11843 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+ → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
70 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑟 / 2) → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
7170ralbidv 2983 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑟 / 2) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
72712ralbidv 2986 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑟 / 2) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
7372rexbidv 3048 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑟 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
74 ralcom 3093 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2))
75 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑘 → (ℤ𝑞) = (ℤ𝑘))
76 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹𝑞)‘𝑤) = ((𝐹𝑞)‘𝑧))
77 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑧 → ((𝐹𝑚)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑧))
7876, 77oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑧 → (((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤)) = (((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
7978fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = 𝑧 → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) = (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
8079breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑧 → ((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
8180cbvralv 3166 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2))
82 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 = 𝑘 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑘))
8382fveq1d 6180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑘 → ((𝐹𝑞)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
8483oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑘 → (((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧)))
8584fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 = 𝑘 → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))))
8685breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 𝑘 → ((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
8786ralbidv 2983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 = 𝑘 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
8881, 87syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑘 → (∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
8975, 88raleqbidv 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 = 𝑘 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
9074, 89syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 = 𝑘 → (∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
9190cbvralv 3166 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2))
92 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑗 → (ℤ𝑝) = (ℤ𝑗))
9392raleqdv 3139 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
9491, 93syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝑗 → (∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2)))
9594cbvrexv 3167 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < (𝑟 / 2))
9673, 95syl6bbr 278 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑟 / 2) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ ∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2)))
9796rspccva 3303 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑘)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑚)‘𝑧))) < 𝑥 ∧ (𝑟 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2))
9868, 69, 97syl2an 494 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2))
993uztrn2 11690 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)) → 𝑞𝑍)
100 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑞) = (ℤ𝑞)
101 eluzelz 11682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑞 ∈ ℤ)
102101, 3eleq2s 2717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞𝑍𝑞 ∈ ℤ)
103102ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑞 ∈ ℤ)
10469adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
105104ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑟 / 2) ∈ ℝ+)
106 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → 𝑞𝑍)
1073uztrn2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → 𝑚𝑍)
108106, 107sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → 𝑚𝑍)
109 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
110109fveq1d 6180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
111 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))
112 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ∈ V
113110, 111, 112fvmpt 6269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
114108, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))‘𝑚) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
1156adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
116115ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
117 elmapi 7864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑛) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) → (𝐹𝑛):𝑆⟶ℂ)
119118ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑦𝑆) → ((𝐹𝑛)‘𝑦) ∈ ℂ)
120119an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑛𝑍) → ((𝐹𝑛)‘𝑦) ∈ ℂ)
121 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))
122120, 121fmptd 6371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)):𝑍⟶ℂ)
123122ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) ∧ 𝑞𝑍) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) ∈ ℂ)
124 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
125 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐹𝑗)‘𝑧) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
126124, 125oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑦 → (((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧)) = (((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
127126fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 𝑦 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
128127breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧 = 𝑦 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
129128rspcv 3300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦𝑆 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
130129ralimdv 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝑆 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
131130reximdv 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝑆 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
132131ralimdv 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝑆 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
133132impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥𝑦𝑆) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥)
134133adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥)
135 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑞 = 𝑘 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) = ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘))
136135oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑞 = 𝑘 → (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝)) = (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝)))
137136fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑞 = 𝑘 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) = (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))))
138137breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑞 = 𝑘 → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟))
139138cbvralv 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟)
140 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑗 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝) = ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))
141140oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑝 = 𝑗 → (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝)) = (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗)))
142141fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑝 = 𝑗 → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) = (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))))
143142breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑝 = 𝑗 → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟))
14492, 143raleqbidv 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟))
145139, 144syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 = 𝑗 → (∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟))
146145cbvrexv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟)
147 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑘 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑘))
148147fveq1d 6180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
149 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹𝑘)‘𝑦) ∈ V
150148, 121, 149fvmpt 6269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
15138, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
152 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
153152fveq1d 6180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
154 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐹𝑗)‘𝑦) ∈ V
155153, 121, 154fvmpt 6269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗𝑍 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑦))
157151, 156oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗)) = (((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦)))
158157fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))))
159158breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟))
160159ralbidva 2982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟))
161160rexbiia 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑘) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑗))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟)
162146, 161bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟)
163 breq2 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 = 𝑥 → ((abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟 ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
164163ralbidv 2983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑟 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
165164rexbidv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑟 = 𝑥 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
166162, 165syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑟 = 𝑥 → (∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥))
167166cbvralv 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑦) − ((𝐹𝑗)‘𝑦))) < 𝑥)
168134, 167sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)(abs‘(((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑞) − ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))‘𝑝))) < 𝑟)
169 fvex 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℤ𝑀) ∈ V
1703, 169eqeltri 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 ∈ V
171170mptex 6471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ V
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ V)
1733, 123, 168, 172caucvg 14390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
174173ralrimiva 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → ∀𝑦𝑆 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
175174ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) → ∀𝑦𝑆 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ )
176 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → ((𝐹𝑛)‘𝑦) = ((𝐹𝑛)‘𝑤))
177176mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
178177eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑤 → ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ∈ dom ⇝ ))
179178rspccva 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑦𝑆 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ∧ 𝑤𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
180175, 179sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ∈ dom ⇝ )
181 climdm 14266 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))
182180, 181sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))
183100, 103, 105, 114, 182climi2 14223 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2))
184100r19.29uz 14071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)))
185100r19.2uz 14072 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑚 ∈ (ℤ𝑞)((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)))
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → ∃𝑚 ∈ (ℤ𝑞)((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)))
1876ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
188187ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) → (𝐹𝑞) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
189 elmapi 7864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑞) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑞):𝑆⟶ℂ)
190188, 189syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) → (𝐹𝑞):𝑆⟶ℂ)
191190ffvelrnda 6345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝐹𝑞)‘𝑤) ∈ ℂ)
192191adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → ((𝐹𝑞)‘𝑤) ∈ ℂ)
193 climcl 14211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) ∈ ℂ)
194182, 193syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) ∈ ℂ)
195194adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) ∈ ℂ)
1966ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
197196, 108ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → (𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
198 elmapi 7864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑚) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → (𝐹𝑚):𝑆⟶ℂ)
200 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → 𝑤𝑆)
201199, 200ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → ((𝐹𝑚)‘𝑤) ∈ ℂ)
202 rpre 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
203202ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → 𝑟 ∈ ℝ)
204 abs3lem 14059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹𝑞)‘𝑤) ∈ ℂ ∧ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) ∈ ℂ) ∧ (((𝐹𝑚)‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → (((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
205192, 195, 201, 203, 204syl22anc 1325 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑞)) → (((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
206205rexlimdva 3027 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (∃𝑚 ∈ (ℤ𝑞)((abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
207186, 206syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → ((∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) ∧ ∃𝑣 ∈ (ℤ𝑞)∀𝑚 ∈ (ℤ𝑣)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < (𝑟 / 2)) → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
208183, 207mpan2d 709 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) ∧ 𝑤𝑆) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
209208ralimdva 2959 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞𝑍) → (∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
21099, 209sylan2 491 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ (𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝))) → (∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
211210anassrs 679 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝𝑍) ∧ 𝑞 ∈ (ℤ𝑝)) → (∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → ∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
212211ralimdva 2959 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝𝑍) → (∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → ∀𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
213212reximdva 3014 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆𝑚 ∈ (ℤ𝑞)(abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ((𝐹𝑚)‘𝑤))) < (𝑟 / 2) → ∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
21498, 213mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∃𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟)
215214ralrimiva 2963 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟)
2164adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
217 eqidd 2621 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ (𝑞𝑍𝑤𝑆)) → ((𝐹𝑞)‘𝑤) = ((𝐹𝑞)‘𝑤))
218177fveq2d 6182 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑤 → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))) = ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))
219 eqid 2620 . . . . . . . 8 (𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)))) = (𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))
220 fvex 6188 . . . . . . . 8 ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))) ∈ V
221218, 219, 220fvmpt 6269 . . . . . . 7 (𝑤𝑆 → ((𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))‘𝑤) = ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))
222221adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑤𝑆) → ((𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))‘𝑤) = ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))
223 climdm 14266 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))
224173, 223sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))
225 climcl 14211 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))) → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))) ∈ ℂ)
226224, 225syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))) ∈ ℂ)
227226, 219fmptd 6371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → (𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)))):𝑆⟶ℂ)
22866adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → 𝑆𝑉)
2293, 216, 115, 217, 222, 227, 228ulm2 24120 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → (𝐹(⇝𝑢𝑆)(𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)))) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑝𝑍𝑞 ∈ (ℤ𝑝)∀𝑤𝑆 (abs‘(((𝐹𝑞)‘𝑤) − ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤))))) < 𝑟))
230215, 229mpbird 247 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → 𝐹(⇝𝑢𝑆)(𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦)))))
231 releldm 5347 . . . 4 ((Rel (⇝𝑢𝑆) ∧ 𝐹(⇝𝑢𝑆)(𝑦𝑆 ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑦))))) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
23265, 230, 231sylancr 694 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆))
233232ex 450 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆)))
23464, 233impbid 202 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom (⇝𝑢𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − ((𝐹𝑗)‘𝑧))) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195   class class class wbr 4644  cmpt 4720  dom cdm 5104  Rel wrel 5109  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑚 cmap 7842  cc 9919  cr 9920   < clt 10059  cmin 10251   / cdiv 10669  2c2 11055  cz 11362  cuz 11672  +crp 11817  abscabs 13955  cli 14196  𝑢culm 24111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-inf 8334  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-ico 12166  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-ulm 24112
This theorem is referenced by:  ulmcau2  24131  mtest  24139
  Copyright terms: Public domain W3C validator