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Theorem ulmbdd 24197
Description: A uniform limit of bounded functions is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ulmbdd.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
ulmbdd.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
ulmbdd.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
ulmbdd.b ((𝜑𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
ulmbdd.u (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
Assertion
Ref Expression
ulmbdd (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑧,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑧   𝑘,𝑀,𝑧   𝑘,𝑍,𝑥,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem ulmbdd
Dummy variables 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ulmbdd.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 ulmbdd.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 ulmbdd.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
4 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍𝑧𝑆)) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) = ((𝐹𝑘)‘𝑧))
5 eqidd 2652 . . 3 ((𝜑𝑧𝑆) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
6 ulmbdd.u . . 3 (𝜑𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺)
7 1rp 11874 . . . 4 1 ∈ ℝ+
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ulmi 24185 . 2 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1)
101r19.2uz 14135 . . 3 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑘𝑍𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1)
11 ulmbdd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
12 r19.26 3093 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑆 ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) ↔ (∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))
13 peano2re 10247 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
1413adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
15 ulmcl 24180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹(⇝𝑢𝑆)𝐺𝐺:𝑆⟶ℂ)
166, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℂ)
1716ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝐺:𝑆⟶ℂ)
18 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝑧𝑆)
1917, 18ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
2019abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
213ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝐹:𝑍⟶(ℂ ↑𝑚 𝑆))
22 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝑘𝑍)
2321, 22ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆))
24 elmapi 7921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹𝑘) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝑆) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝐹𝑘):𝑆⟶ℂ)
2625, 18ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((𝐹𝑘)‘𝑧) ∈ ℂ)
2726abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ ℝ)
2819, 26subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)) ∈ ℂ)
2928abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ)
3027, 29readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) ∈ ℝ)
3114adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3226, 19pncan3d 10433 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (((𝐹𝑘)‘𝑧) + ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) = (𝐺𝑧))
3332fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) + ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) = (abs‘(𝐺𝑧)))
3426, 28abstrid 14239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) + ((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))))
3533, 34eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))))
36 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
37 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → 1 ∈ ℝ)
39 simprrl 821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥)
4019, 26abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))))
41 simprrr 822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1)
4240, 41eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 1)
43 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
4429, 37, 43sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) < 1 → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ≤ 1))
4542, 44mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧))) ≤ 1)
4627, 29, 36, 38, 39, 45le2addd 10684 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) + (abs‘((𝐺𝑧) − ((𝐹𝑘)‘𝑧)))) ≤ (𝑥 + 1))
4720, 30, 31, 35, 46letrd 10232 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑧𝑆 ∧ ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1))) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1))
4847expr 642 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑧𝑆) → (((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
4948ralimdva 2991 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
50 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 + 1) → ((abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
5150ralbidv 3015 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥 + 1) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)))
5251rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ (𝑥 + 1)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)
5314, 49, 52syl6an 567 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝑆 ((abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
5412, 53syl5bir 233 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
5554expd 451 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)))
5655rexlimdva 3060 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘((𝐹𝑘)‘𝑧)) ≤ 𝑥 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦)))
5711, 56mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦))
58 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
5958ralbidv 3015 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
6059cbvrexv 3202 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥)
6157, 60syl6ib 241 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
6261rexlimdva 3060 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘𝑍𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
6310, 62syl5 34 . 2 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑧𝑆 (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑧) − (𝐺𝑧))) < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥))
649, 63mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 (abs‘(𝐺𝑧)) ≤ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  abscabs 14018  𝑢culm 24175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-ulm 24176
This theorem is referenced by:  mtestbdd  24204
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