Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrwkspthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrwkspthlem2 26860
 Description: Lemma 2 for uhgrwkspth 26861. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
uhgrwkspthlem2 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun 𝑃)

Proof of Theorem uhgrwkspthlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21wlkp 26722 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
3 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) = 1 → (0...(♯‘𝐹)) = (0...1))
4 1e0p1 11744 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
54oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...1) = (0...(0 + 1))
6 0z 11580 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
7 fzpr 12589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
9 0p1e1 11324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
109preq2i 4416 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
115, 8, 103eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (0...1) = {0, 1}
123, 11syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 1 → (0...(♯‘𝐹)) = {0, 1})
1312feq2d 6192 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺)))
1413adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺)))
15 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)
1715, 16neeq12d 2993 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ 𝐴𝐵))
1817bicomd 213 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
19 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
2019neeq2d 2992 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
2118, 20sylan9bbr 739 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
2214, 21anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
23 1z 11599 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
24 fpr2g 6639 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})))
256, 23, 24mp2an 710 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}))
26 funcnvs2 13858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
27263expa 1112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
2827adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
29 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})
30 s2prop 13852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩ = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})
3130eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
3332adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
3429, 33eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
3534cnveqd 5453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
3635funeqd 6071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → (Fun 𝑃 ↔ Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩))
3728, 36mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → Fun 𝑃)
3837exp32 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun 𝑃)))
3938impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun 𝑃))
40393impa 1101 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun 𝑃))
4125, 40sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun 𝑃))
4241imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun 𝑃)
4322, 42syl6bi 243 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → Fun 𝑃))
4443expd 451 . . . . . . 7 (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝐴𝐵 → Fun 𝑃)))
4544com12 32 . . . . . 6 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴𝐵 → Fun 𝑃)))
4645expd 451 . . . . 5 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) = 1 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴𝐵 → Fun 𝑃))))
4746com34 91 . . . 4 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) = 1 → (𝐴𝐵 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun 𝑃))))
4847impd 446 . . 3 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun 𝑃)))
492, 48syl 17 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun 𝑃)))
50493imp 1102 1 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun 𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {cpr 4323  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804  ◡ccnv 5265  Fun wfun 6043  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  ℤcz 11569  ...cfz 12519  ♯chash 13311  ⟨“cs2 13786  Vtxcvtx 26073  Walkscwlks 26702 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-s2 13793  df-wlks 26705 This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  26861
 Copyright terms: Public domain W3C validator