MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrvd00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrvd00 26350
Description: If every vertex in a hypergraph has degree 0, there is no edge in the graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jul-2018.) (Revised by AV, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdusgradjvtx.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdusgradjvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
uhgrvd00 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉

Proof of Theorem uhgrvd00
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vtxdusgradjvtx.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdusgradjvtx.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 eqid 2621 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3vtxduhgr0edgnel 26310 . . . 4 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑣𝑒))
5 ralnex 2988 . . . 4 (∀𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸 𝑣𝑒)
64, 5syl6bbr 278 . . 3 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑣𝑉) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒))
76ralbidva 2981 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 ↔ ∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒))
8 ralcom 3092 . . . . 5 (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ∀𝑒𝐸𝑣𝑉 ¬ 𝑣𝑒)
9 ralnex2 3040 . . . . 5 (∀𝑒𝐸𝑣𝑉 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒)
108, 9bitri 264 . . . 4 (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 ↔ ¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒)
11 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒𝐸)
122eleq2i 2690 . . . . . . . . . . 11 (𝑒𝐸𝑒 ∈ (Edg‘𝐺))
13 uhgredgn0 25952 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
1412, 13sylan2b 492 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → 𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
15 eldifsn 4294 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) ↔ (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅))
16 elpwi 4146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → 𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
171sseq2i 3615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑉𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺))
18 ssn0rex 3918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒𝑉𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
1918ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒𝑉 → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2017, 19sylbir 225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ⊆ (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → (𝑒 ≠ ∅ → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2221imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑒 ≠ ∅) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2315, 22sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2414, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)
2511, 24jca 554 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝑒𝐸) → (𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
2625ex 450 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝑒𝐸 → (𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)))
2726eximdv 1843 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UHGraph → (∃𝑒 𝑒𝐸 → ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒)))
28 n0 3913 . . . . . 6 (𝐸 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒𝐸)
29 df-rex 2914 . . . . . 6 (∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒 ↔ ∃𝑒(𝑒𝐸 ∧ ∃𝑣𝑉 𝑣𝑒))
3027, 28, 293imtr4g 285 . . . . 5 (𝐺 ∈ UHGraph → (𝐸 ≠ ∅ → ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒))
3130con3d 148 . . . 4 (𝐺 ∈ UHGraph → (¬ ∃𝑒𝐸𝑣𝑉 𝑣𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
3210, 31syl5bi 232 . . 3 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒 → ¬ 𝐸 ≠ ∅))
33 nne 2794 . . 3 𝐸 ≠ ∅ ↔ 𝐸 = ∅)
3432, 33syl6ib 241 . 2 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉𝑒𝐸 ¬ 𝑣𝑒𝐸 = ∅))
357, 34sylbid 230 1 (𝐺 ∈ UHGraph → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 0 → 𝐸 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  cdif 3557  wss 3560  c0 3897  𝒫 cpw 4136  {csn 4155  cfv 5857  0cc0 9896  Vtxcvtx 25808  Edgcedg 25873   UHGraph cuhgr 25881  VtxDegcvtxdg 26282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-xadd 11907  df-fz 12285  df-hash 13074  df-edg 25874  df-uhgr 25883  df-vtxdg 26283
This theorem is referenced by:  usgrvd00  26351  uhgr0edg0rgrb  26374
  Copyright terms: Public domain W3C validator