MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrstrrepe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrstrrepe 26194
Description: Replacing (or adding) the edges (between elements of the base set) of an extensible structure results in a hypergraph. Instead of requiring (𝜑𝐺 Struct 𝑋), it would be sufficient to require (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅})) and (𝜑𝐺 ∈ V). (Contributed by AV, 18-Jan-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
uhgrstrrepe.v 𝑉 = (Base‘𝐺)
uhgrstrrepe.i 𝐼 = (.ef‘ndx)
uhgrstrrepe.s (𝜑𝐺 Struct 𝑋)
uhgrstrrepe.b (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
uhgrstrrepe.w (𝜑𝐸𝑊)
uhgrstrrepe.e (𝜑𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
Assertion
Ref Expression
uhgrstrrepe (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph)

Proof of Theorem uhgrstrrepe
StepHypRef Expression
1 uhgrstrrepe.e . . . 4 (𝜑𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
2 uhgrstrrepe.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (.ef‘ndx)
3 uhgrstrrepe.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 Struct 𝑋)
4 uhgrstrrepe.b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘ndx) ∈ dom 𝐺)
5 uhgrstrrepe.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝑊)
62, 3, 4, 5setsvtx 26148 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Base‘𝐺))
7 uhgrstrrepe.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝐺)
86, 7syl6eqr 2813 . . . . . . 7 (𝜑 → (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝑉)
98pweqd 4308 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝒫 𝑉)
109difeq1d 3871 . . . . 5 (𝜑 → (𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅}) = (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
1110feq3d 6194 . . . 4 (𝜑 → (𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅}) ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 𝑉 ∖ {∅})))
121, 11mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅}))
132, 3, 4, 5setsiedg 26149 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = 𝐸)
1413dmeqd 5482 . . . 4 (𝜑 → dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = dom 𝐸)
1513, 14feq12d 6195 . . 3 (𝜑 → ((iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅}) ↔ 𝐸:dom 𝐸⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅})))
1612, 15mpbird 247 . 2 (𝜑 → (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅}))
17 ovex 6843 . . 3 (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V
18 eqid 2761 . . . 4 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
19 eqid 2761 . . . 4 (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) = (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
2018, 19isuhgr 26176 . . 3 ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ V → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅})))
2117, 20mp1i 13 . 2 (𝜑 → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)):dom (iEdg‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))⟶(𝒫 (Vtx‘(𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩)) ∖ {∅})))
2216, 21mpbird 247 1 (𝜑 → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∈ UHGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341  cdif 3713  c0 4059  𝒫 cpw 4303  {csn 4322  cop 4328   class class class wbr 4805  dom cdm 5267  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815   Struct cstr 16076  ndxcnx 16077   sSet csts 16078  Basecbs 16080  .efcedgf 26088  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  UHGraphcuhgr 26172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-hash 13333  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-edgf 26089  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-uhgr 26174
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator