Theorem uhgredgn0 26214

Description: An edge of a hypergraph is a nonempty subset of vertices. (Contributed by AV, 28-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgredgn0	⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))

Proof of Theorem uhgredgn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgval 26132	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
2		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
4	2, 3	uhgrf 26148	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
5		frn 6206	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶(𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}) → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ran (iEdg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
7	1, 6	syl5eqss 3782	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → (Edg‘𝐺) ⊆ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))
8	7	sselda 3736	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺)) → 𝐸 ∈ (𝒫 (Vtx‘𝐺) ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2131   ∖ cdif 3704   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050  𝒫 cpw 4294  {csn 4313  dom cdm 5258  ran crn 5259  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  Vtxcvtx 26065  iEdgciedg 26066  Edgcedg 26130  UHGraphcuhgr 26142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-fv 6049  df-edg 26131  df-uhgr 26144

This theorem is referenced by:  edguhgr  26215  uhgredgss  26217  uhgrvd00  26632