Theorem uhgr0 26189

Description: The null graph represented by an empty set is a hypergraph. (Contributed by AV, 9-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uhgr0	⊢ ∅ ∈ UHGraph

Proof of Theorem uhgr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f0 6248	. . 3 ⊢ ∅:∅⟶∅
2		dm0 5495	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
3		pw0 4489	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ∅ = {∅}
4	3	difeq1i 3868	. . . . 5 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅})
5		difid 4092	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
6	4, 5	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (𝒫 ∅ ∖ {∅}) = ∅
7	2, 6	feq23i 6201	. . 3 ⊢ (∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}) ↔ ∅:∅⟶∅)
8	1, 7	mpbir 221	. 2 ⊢ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})
9		0ex 4943	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
10		vtxval0 26152	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
11	10	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
12		iedgval0 26153	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2770	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14	11, 13	isuhgr 26176	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅})))
15	9, 14	ax-mp 5	. 2 ⊢ (∅ ∈ UHGraph ↔ ∅:dom ∅⟶(𝒫 ∅ ∖ {∅}))
16	8, 15	mpbir 221	1 ⊢ ∅ ∈ UHGraph

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341   ∖ cdif 3713  ∅c0 4059  𝒫 cpw 4303  {csn 4322  dom cdm 5267  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  UHGraphcuhgr 26172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-fv 6058  df-slot 16084  df-base 16086  df-edgf 26089  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-uhgr 26174

This theorem is referenced by: (None)