MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufldom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ufldom 21938
Description: The ultrafilter lemma property is a cardinal invariant, so since it transfers to subsets it also transfers over set dominance. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufldom ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)

Proof of Theorem ufldom
Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 8123 . . 3 (𝑋 ∈ UFL → (𝑌𝑋 ↔ ∃𝑥(𝑌𝑥𝑥𝑋)))
2 bren 8118 . . . . . . . 8 (𝑌𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥)
32biimpi 206 . . . . . . 7 (𝑌𝑥 → ∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥)
4 ssufl 21894 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ UFL)
5 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑥 ∈ UFL)
6 filfbas 21824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
76adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
8 f1of 6286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑓:𝑌𝑥)
98ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → 𝑓:𝑌𝑥)
10 fmfil 21920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ UFL ∧ 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑓:𝑌𝑥) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
115, 7, 9, 10syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
12 ufli 21890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ UFL ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥)) → ∃𝑦 ∈ (UFil‘𝑥)((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
135, 11, 12syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑦 ∈ (UFil‘𝑥)((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
14 f1odm 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → dom 𝑓 = 𝑌)
1514adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → dom 𝑓 = 𝑌)
16 vex 3331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
1716dmex 7252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom 𝑓 ∈ V
1815, 17syl6eqelr 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ V)
1918ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑌 ∈ V)
20 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (UFil‘𝑥))
21 f1ocnv 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑓:𝑥1-1-onto𝑌)
2221ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑥1-1-onto𝑌)
23 f1of 6286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝑥1-1-onto𝑌𝑓:𝑥𝑌)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑥𝑌)
25 fmufil 21935 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ 𝑓:𝑥𝑌) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌))
2619, 20, 24, 25syl3anc 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌))
27 f1ococnv1 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑌))
2827ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝑌))
2928oveq2d 6817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → (𝑌 FilMap (𝑓𝑓)) = (𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌)))
3029fveq1d 6342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔))
315adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑥 ∈ UFL)
327adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌))
338ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑓:𝑌𝑥)
34 fmco 21937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑌 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ UFL ∧ 𝑔 ∈ (fBas‘𝑌)) ∧ (𝑓:𝑥𝑌𝑓:𝑌𝑥)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)))
3519, 31, 32, 24, 33, 34syl32anc 1471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap (𝑓𝑓))‘𝑔) = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)))
36 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌))
37 fmid 21936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ (Fil‘𝑌) → ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔) = 𝑔)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap ( I ↾ 𝑌))‘𝑔) = 𝑔)
3930, 35, 383eqtr3d 2790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) = 𝑔)
4011adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥))
41 filfbas 21824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (Fil‘𝑥) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥))
43 ufilfil 21880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) → 𝑦 ∈ (Fil‘𝑥))
44 filfbas 21824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (Fil‘𝑥) → 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥))
4520, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥))
46 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)
47 fmss 21922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑌 ∈ V ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ∈ (fBas‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (fBas‘𝑥)) ∧ (𝑓:𝑥𝑌 ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
4819, 42, 45, 24, 46, 47syl32anc 1471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ((𝑌 FilMap 𝑓)‘((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔)) ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
4939, 48eqsstr3d 3769 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → 𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦))
50 sseq2 3756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) → (𝑔𝑢𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦)))
5150rspcev 3437 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦) ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑔 ⊆ ((𝑌 FilMap 𝑓)‘𝑦)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5226, 49, 51syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) ∧ (𝑦 ∈ (UFil‘𝑥) ∧ ((𝑥 FilMap 𝑓)‘𝑔) ⊆ 𝑦)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5313, 52rexlimddv 3161 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) ∧ 𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)) → ∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
5453ralrimiva 3092 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢)
55 isufl 21889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ V → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢))
5618, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → (𝑌 ∈ UFL ↔ ∀𝑔 ∈ (Fil‘𝑌)∃𝑢 ∈ (UFil‘𝑌)𝑔𝑢))
5754, 56mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ UFL)
5857ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑥 ∈ UFL → 𝑌 ∈ UFL))
5958exlimiv 1995 . . . . . . . 8 (∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥 → (𝑥 ∈ UFL → 𝑌 ∈ UFL))
6059imp 444 . . . . . . 7 ((∃𝑓 𝑓:𝑌1-1-onto𝑥𝑥 ∈ UFL) → 𝑌 ∈ UFL)
613, 4, 60syl2an 495 . . . . . 6 ((𝑌𝑥 ∧ (𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑥𝑋)) → 𝑌 ∈ UFL)
6261an12s 878 . . . . 5 ((𝑋 ∈ UFL ∧ (𝑌𝑥𝑥𝑋)) → 𝑌 ∈ UFL)
6362ex 449 . . . 4 (𝑋 ∈ UFL → ((𝑌𝑥𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ UFL))
6463exlimdv 1998 . . 3 (𝑋 ∈ UFL → (∃𝑥(𝑌𝑥𝑥𝑋) → 𝑌 ∈ UFL))
651, 64sylbid 230 . 2 (𝑋 ∈ UFL → (𝑌𝑋𝑌 ∈ UFL))
6665imp 444 1 ((𝑋 ∈ UFL ∧ 𝑌𝑋) → 𝑌 ∈ UFL)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1620  wex 1841  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039  Vcvv 3328  wss 3703   class class class wbr 4792   I cid 5161  ccnv 5253  dom cdm 5254  cres 5256  ccom 5258  wf 6033  1-1-ontowf1o 6036  cfv 6037  (class class class)co 6801  cen 8106  cdom 8107  fBascfbas 19907  Filcfil 21821  UFilcufil 21875  UFLcufl 21876   FilMap cfm 21909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-fin 8113  df-fi 8470  df-rest 16256  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-fil 21822  df-ufil 21877  df-ufl 21878  df-fm 21914
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator