MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uffix Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uffix 21946
Description: Lemma for fixufil 21947 and uffixfr 21948. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
uffix ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝑥,𝑉

Proof of Theorem uffix
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4484 . . . 4 (𝐴𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
21adantl 473 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
3 snnzg 4451 . . . 4 (𝐴𝑋 → {𝐴} ≠ ∅)
43adantl 473 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝐴} ≠ ∅)
5 simpl 474 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝑋𝑉)
6 snfbas 21891 . . 3 (({𝐴} ⊆ 𝑋 ∧ {𝐴} ≠ ∅ ∧ 𝑋𝑉) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
72, 4, 5, 6syl3anc 1477 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋))
8 selpw 4309 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋)
98a1i 11 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋))
10 snex 5057 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
1110snid 4353 . . . . . . 7 {𝐴} ∈ {{𝐴}}
12 snssi 4484 . . . . . . 7 (𝐴𝑦 → {𝐴} ⊆ 𝑦)
13 sseq1 3767 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝐴} → (𝑥𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
1413rspcev 3449 . . . . . . 7 (({𝐴} ∈ {{𝐴}} ∧ {𝐴} ⊆ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)
1511, 12, 14sylancr 698 . . . . . 6 (𝐴𝑦 → ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)
16 intss1 4644 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {{𝐴}} → {{𝐴}} ⊆ 𝑥)
17 sstr2 3751 . . . . . . . . 9 ( {{𝐴}} ⊆ 𝑥 → (𝑥𝑦 {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {{𝐴}} → (𝑥𝑦 {{𝐴}} ⊆ 𝑦))
19 snidg 4351 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑋𝐴 ∈ {𝐴})
2019adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝐴 ∈ {𝐴})
2110intsn 4665 . . . . . . . . . 10 {{𝐴}} = {𝐴}
2220, 21syl6eleqr 2850 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → 𝐴 {{𝐴}})
23 ssel 3738 . . . . . . . . 9 ( {{𝐴}} ⊆ 𝑦 → (𝐴 {{𝐴}} → 𝐴𝑦))
2422, 23syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ( {{𝐴}} ⊆ 𝑦𝐴𝑦))
2518, 24sylan9r 693 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝐴𝑋) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}}) → (𝑥𝑦𝐴𝑦))
2625rexlimdva 3169 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦𝐴𝑦))
2715, 26impbid2 216 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝐴𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦))
289, 27anbi12d 749 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ((𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
29 eleq2w 2823 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥𝐴𝑦))
3029elrab 3504 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦))
3130a1i 11 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑦)))
32 elfg 21896 . . . . 5 ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
337, 32syl 17 . . . 4 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}}) ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑥 ∈ {{𝐴}}𝑥𝑦)))
3428, 31, 333bitr4d 300 . . 3 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} ↔ 𝑦 ∈ (𝑋filGen{{𝐴}})))
3534eqrdv 2758 . 2 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}}))
367, 35jca 555 1 ((𝑋𝑉𝐴𝑋) → ({{𝐴}} ∈ (fBas‘𝑋) ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑥} = (𝑋filGen{{𝐴}})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  {crab 3054  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   cint 4627  cfv 6049  (class class class)co 6814  fBascfbas 19956  filGencfg 19957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-fil 21871
This theorem is referenced by:  fixufil  21947  uffixfr  21948
  Copyright terms: Public domain W3C validator