MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubthlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubthlem3 28062
Description: Lemma for ubth 28063. Prove the reverse implication, using nmblolbi 27989. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ubth.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ubth.2 𝑁 = (normCV𝑊)
ubthlem.3 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
ubthlem.4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
ubthlem.5 𝑈 ∈ CBan
ubthlem.6 𝑊 ∈ NrmCVec
ubthlem.7 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
Assertion
Ref Expression
ubthlem3 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝑡,𝐷   𝑡,𝐽,𝑥   𝑡,𝑑,𝑥,𝑐,𝑁   𝜑,𝑐,𝑡,𝑥   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑊,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝑋,𝑐,𝑑,𝑡,𝑥   𝜑,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   𝐽(𝑐,𝑑)

Proof of Theorem ubthlem3
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑟 𝑦 𝑧 𝑚 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq1 6331 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢𝑧) = (𝑡𝑧))
21fveq2d 6336 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢𝑧)) = (𝑁‘(𝑡𝑧)))
32breq1d 4794 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑑))
43cbvralv 3319 . . . . . . 7 (∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑑)
5 breq2 4788 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐))
65ralbidv 3134 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐))
74, 6syl5bb 272 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑐 → (∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐))
87cbvrexv 3320 . . . . 5 (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐)
9 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑡𝑧) = (𝑡𝑥))
109fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑁‘(𝑡𝑧)) = (𝑁‘(𝑡𝑥)))
1110breq1d 4794 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
1211rexralbidv 3205 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
138, 12syl5bb 272 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
1413cbvralv 3319 . . 3 (∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 ↔ ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
15 ubth.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
16 ubth.2 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑊)
17 ubthlem.3 . . . . . 6 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
18 ubthlem.4 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
19 ubthlem.5 . . . . . 6 𝑈 ∈ CBan
20 ubthlem.6 . . . . . 6 𝑊 ∈ NrmCVec
21 ubthlem.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
2221adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
23 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑)
2423, 14sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
25 fveq1 6331 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑡 → (𝑢𝑑) = (𝑡𝑑))
2625fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑡 → (𝑁‘(𝑢𝑑)) = (𝑁‘(𝑡𝑑)))
2726breq1d 4794 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑡 → ((𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑑)) ≤ 𝑚))
2827cbvralv 3319 . . . . . . . . . 10 (∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑑)) ≤ 𝑚)
29 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 = 𝑧 → (𝑡𝑑) = (𝑡𝑧))
3029fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 = 𝑧 → (𝑁‘(𝑡𝑑)) = (𝑁‘(𝑡𝑧)))
3130breq1d 4794 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑧 → ((𝑁‘(𝑡𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚))
3231ralbidv 3134 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚))
3328, 32syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑧 → (∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚))
3433cbvrabv 3348 . . . . . . . 8 {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚}
35 breq2 4788 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑘 → ((𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘))
3635ralbidv 3134 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘))
3736rabbidv 3338 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑚} = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
3834, 37syl5eq 2816 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑘 → {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚} = {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
3938cbvmptv 4882 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚}) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑧𝑋 ∣ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑧)) ≤ 𝑘})
4015, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 39ubthlem1 28060 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
4121ad3antrrr 701 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑇 ⊆ (𝑈 BLnOp 𝑊))
4224ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
43 simplrl 754 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
44 simplrr 755 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑦𝑋)
45 simprl 746 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
46 simprr 748 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))
4715, 16, 17, 18, 19, 20, 41, 42, 39, 43, 44, 45, 46ubthlem2 28061 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛))) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
4847expr 444 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ({𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
4948rexlimdva 3178 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝑋)) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
5049rexlimdvva 3185 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑦𝑋𝑟 ∈ ℝ+ {𝑧𝑋 ∣ (𝑦𝐷𝑧) ≤ 𝑟} ⊆ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑑𝑋 ∣ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑑)) ≤ 𝑚})‘𝑛) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
5140, 50mpd 15 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑) → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
5251ex 397 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝑋𝑑 ∈ ℝ ∀𝑢𝑇 (𝑁‘(𝑢𝑧)) ≤ 𝑑 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
5314, 52syl5bir 233 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 → ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
54 simpr 471 . . . . . 6 ((𝜑𝑑 ∈ ℝ) → 𝑑 ∈ ℝ)
55 bnnv 28056 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ CBan → 𝑈 ∈ NrmCVec)
5619, 55ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑈 ∈ NrmCVec
57 eqid 2770 . . . . . . . 8 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
5815, 57nvcl 27850 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
5956, 58mpan 662 . . . . . 6 (𝑥𝑋 → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
60 remulcl 10222 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
6154, 59, 60syl2an 575 . . . . 5 (((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
6221sselda 3750 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
6362adantlr 686 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑡𝑇) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
6463ad2ant2r 733 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊))
65 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
66 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 BLnOp 𝑊) = (𝑈 BLnOp 𝑊)
6715, 65, 66blof 27974 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
6856, 20, 67mp3an12 1561 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
70 simplr 744 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑥𝑋)
7169, 70ffvelrnd 6503 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊))
7265, 16nvcl 27850 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
7320, 72mpan 662 . . . . . . . . 9 ((𝑡𝑥) ∈ (BaseSet‘𝑊) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
7471, 73syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ∈ ℝ)
75 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
7615, 65, 75nmoxr 27955 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
7756, 20, 76mp3an12 1561 . . . . . . . . . . 11 (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
7869, 77syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*)
79 simpllr 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
8015, 65, 75nmogtmnf 27959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
8156, 20, 80mp3an12 1561 . . . . . . . . . . 11 (𝑡:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
8269, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → -∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡))
83 simprr 748 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)
84 xrre 12204 . . . . . . . . . 10 (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ*𝑑 ∈ ℝ) ∧ (-∞ < ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
8578, 79, 82, 83, 84syl22anc 1476 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ)
8659ad2antlr 698 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ)
87 remulcl 10222 . . . . . . . . 9 ((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ ((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
8885, 86, 87syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
8961adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ)
9015, 57, 16, 75, 66, 56, 20nmblolbi 27989 . . . . . . . . 9 ((𝑡 ∈ (𝑈 BLnOp 𝑊) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9164, 70, 90syl2anc 565 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9215, 57nvge0 27862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥𝑋) → 0 ≤ ((normCV𝑈)‘𝑥))
9356, 92mpan 662 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝑋 → 0 ≤ ((normCV𝑈)‘𝑥))
9459, 93jca 495 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑋 → (((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9594ad2antlr 698 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV𝑈)‘𝑥)))
96 lemul1a 11078 . . . . . . . . 9 (((((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ (((normCV𝑈)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((normCV𝑈)‘𝑥))) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9785, 79, 95, 83, 96syl31anc 1478 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9874, 88, 89, 91, 97letrd 10395 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑡𝑇 ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑)) → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)))
9998expr 444 . . . . . 6 ((((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑡𝑇) → (((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥))))
10099ralimdva 3110 . . . . 5 (((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥))))
101 breq2 4788 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) → ((𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥))))
102101ralbidv 3134 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) → (∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥))))
103102rspcev 3458 . . . . 5 (((𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ (𝑑 · ((normCV𝑈)‘𝑥))) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐)
10461, 100, 103syl6an 655 . . . 4 (((𝜑𝑑 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
105104ralrimdva 3117 . . 3 ((𝜑𝑑 ∈ ℝ) → (∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
106105rexlimdva 3178 . 2 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑 → ∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐))
10753, 106impbid 202 1 (𝜑 → (∀𝑥𝑋𝑐 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 (𝑁‘(𝑡𝑥)) ≤ 𝑐 ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ ∀𝑡𝑇 ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑡) ≤ 𝑑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  {crab 3064  wss 3721   class class class wbr 4784  cmpt 4861  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137   · cmul 10142  -∞cmnf 10273  *cxr 10274   < clt 10275  cle 10276  cn 11221  +crp 12034  MetOpencmopn 19950  NrmCVeccnv 27773  BaseSetcba 27775  normCVcnmcv 27779  IndMetcims 27780   normOpOLD cnmoo 27930   BLnOp cblo 27931  CBanccbn 28052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-dc 9469  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ico 12385  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-rest 16290  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-lm 21253  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-cfil 23271  df-cau 23272  df-cmet 23273  df-grpo 27681  df-gid 27682  df-ginv 27683  df-gdiv 27684  df-ablo 27733  df-vc 27748  df-nv 27781  df-va 27784  df-ba 27785  df-sm 27786  df-0v 27787  df-vs 27788  df-nmcv 27789  df-ims 27790  df-lno 27933  df-nmoo 27934  df-blo 27935  df-0o 27936  df-cbn 28053
This theorem is referenced by:  ubth  28063
  Copyright terms: Public domain W3C validator