MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ubicc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubicc2 12502
Description: The upper bound of a closed interval is a member of it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.) (Revised by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ubicc2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem ubicc2
StepHypRef Expression
1 simp2 1132 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 simp3 1133 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3 xrleid 12196 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
433ad2ant2 1129 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
5 elicc1 12432 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
653adant3 1127 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵𝐵𝐵)))
71, 2, 4, 6mpbir3and 1428 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  *cxr 10285  cle 10287  [,]cicc 12391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-icc 12395
This theorem is referenced by:  xnn0xrge0  12538  iccpnfcnv  22964  oprpiece1res2  22972  ivthlem2  23441  ivth2  23444  ivthle  23445  ivthle2  23446  dyadmaxlem  23585  cmvth  23973  mvth  23974  dvlip  23975  c1liplem1  23978  dvgt0lem1  23984  lhop1lem  23995  dvcnvrelem1  23999  dvcvx  24002  dvfsumle  24003  dvfsumge  24004  dvfsumabs  24005  dvfsumlem2  24009  ftc2  24026  ftc2ditglem  24027  itgparts  24029  itgsubstlem  24030  efcvx  24422  pige3  24489  logccv  24629  loglesqrt  24719  pntlem3  25518  eliccioo  29969  xrge0iifcnv  30309  lmxrge0  30328  esumpinfval  30465  hashf2  30476  esumcvg  30478  ftc2re  31006  cvmliftlem7  31601  cvmliftlem10  31604  ivthALT  32657  ftc2nc  33825  areacirc  33836  itgpowd  38320  iccintsng  40270  pnfel0pnf  40275  limcicciooub  40390  icccncfext  40621  dvbdfbdioolem1  40664  itgsin0pilem1  40686  itgcoscmulx  40706  itgsincmulx  40711  itgsubsticc  40713  fourierdlem20  40865  fourierdlem54  40898  fourierdlem64  40908  fourierdlem81  40925  fourierdlem102  40946  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  fourierdlem114  40958  etransclem46  41018
  Copyright terms: Public domain W3C validator