Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ubelsupr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ubelsupr 39678
Description: If U belongs to A and U is an upper bound, then U is the sup of A. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
ubelsupr ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑈

Proof of Theorem ubelsupr
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2 simp2 1132 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝑈𝐴)
3 ne0i 4064 . . . . 5 (𝑈𝐴𝐴 ≠ ∅)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝐴 ≠ ∅)
51, 2sseldd 3745 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝑈 ∈ ℝ)
6 simp3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈)
7 breq2 4808 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑈 → (𝑥𝑦𝑥𝑈))
87ralbidv 3124 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑈 → (∀𝑥𝐴 𝑥𝑦 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈))
98rspcev 3449 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
105, 6, 9syl2anc 696 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦)
111, 4, 103jca 1123 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦))
12 suprub 11176 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑈𝐴) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
1311, 2, 12syl2anc 696 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
14 suprleub 11181 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈))
1511, 5, 14syl2anc 696 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → (sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈))
166, 15mpbird 247 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)
17 suprcl 11175 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑦) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
1811, 17syl 17 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
195, 18letri3d 10371 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → (𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ (𝑈 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑈)))
2013, 16, 19mpbir2and 995 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑈𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑈) → 𝑈 = sup(𝐴, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  supcsup 8511  cr 10127   < clt 10266  cle 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461
This theorem is referenced by:  cncmpmax  39690
  Copyright terms: Public domain W3C validator