MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tz9.1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tz9.1c 8644
Description: Alternate expression for the existence of transitive closures tz9.1 8643: the intersection of all transitive sets containing 𝐴 is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
tz9.1.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
tz9.1c {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem tz9.1c
Dummy variables 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tz9.1.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
2 eqid 2651 . . . . 5 (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω) = (rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)
3 eqid 2651 . . . . 5 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) = 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤)
41, 2, 3trcl 8642 . . . 4 (𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ ∀𝑥((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ⊆ 𝑥))
5 3simpa 1078 . . . 4 ((𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ ∀𝑥((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) → 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ⊆ 𝑥)) → (𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤)))
6 omex 8578 . . . . . 6 ω ∈ V
7 fvex 6239 . . . . . 6 ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∈ V
86, 7iunex 7189 . . . . 5 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∈ V
9 sseq2 3660 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) → (𝐴𝑥𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤)))
10 treq 4791 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) → (Tr 𝑥 ↔ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤)))
119, 10anbi12d 747 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) → ((𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥) ↔ (𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤))))
128, 11spcev 3331 . . . 4 ((𝐴 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤) ∧ Tr 𝑤 ∈ ω ((rec((𝑧 ∈ V ↦ (𝑧 𝑧)), 𝐴) ↾ ω)‘𝑤)) → ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥))
134, 5, 12mp2b 10 . . 3 𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)
14 abn0 3987 . . 3 ({𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥))
1513, 14mpbir 221 . 2 {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ≠ ∅
16 intex 4850 . 2 ({𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ≠ ∅ ↔ {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V)
1715, 16mpbi 220 1 {𝑥 ∣ (𝐴𝑥 ∧ Tr 𝑥)} ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  Vcvv 3231  cun 3605  wss 3607  c0 3948   cuni 4468   cint 4507   ciun 4552  cmpt 4762  Tr wtr 4785  cres 5145  cfv 5926  ωcom 7107  reccrdg 7550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551
This theorem is referenced by:  tcvalg  8652
  Copyright terms: Public domain W3C validator