MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txunii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txunii 21617
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
txunii.1 𝑅 ∈ Top
txunii.2 𝑆 ∈ Top
txunii.3 𝑋 = 𝑅
txunii.4 𝑌 = 𝑆
Assertion
Ref Expression
txunii (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆)

Proof of Theorem txunii
StepHypRef Expression
1 txunii.1 . 2 𝑅 ∈ Top
2 txunii.2 . 2 𝑆 ∈ Top
3 txunii.3 . . 3 𝑋 = 𝑅
4 txunii.4 . . 3 𝑌 = 𝑆
53, 4txuni 21616 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))
61, 2, 5mp2an 672 1 (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145   cuni 4574   × cxp 5247  (class class class)co 6793  Topctop 20918   ×t ctx 21584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-topgen 16312  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-tx 21586
This theorem is referenced by:  txindis  21658  cxpcn3  24710  tpr2rico  30298  raddcn  30315  sxbrsigalem3  30674  dya2iocucvr  30686  sxbrsigalem1  30687  txsconnlem  31560  cvmlift2lem7  31629  cvmlift2lem9  31631  cvmlift2lem10  31632  cvmlift2lem12  31634  cvmlift2lem13  31635  cvmliftphtlem  31637
  Copyright terms: Public domain W3C validator