MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txuni 21518
Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
txuni.1 𝑋 = 𝑅
txuni.2 𝑌 = 𝑆
Assertion
Ref Expression
txuni ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txuni
StepHypRef Expression
1 txuni.1 . . . 4 𝑋 = 𝑅
21toptopon 20845 . . 3 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 txuni.2 . . . 4 𝑌 = 𝑆
43toptopon 20845 . . 3 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌))
5 txtopon 21517 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑆 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
62, 4, 5syl2anb 497 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
7 toponuni 20842 . 2 ((𝑅 ×t 𝑆) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))
86, 7syl 17 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑋 × 𝑌) = (𝑅 ×t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103   cuni 4544   × cxp 5216  cfv 6001  (class class class)co 6765  Topctop 20821  TopOnctopon 20838   ×t ctx 21486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-topgen 16227  df-top 20822  df-topon 20839  df-bases 20873  df-tx 21488
This theorem is referenced by:  txunii  21519  txcld  21529  neitx  21533  uptx  21551  txcn  21552  txdis  21558  txnlly  21563  txcmp  21569  txcmpb  21570  hausdiag  21571  txhaus  21573  tx1stc  21576  txkgen  21578  txconn  21615  imasnopn  21616  imasncld  21617  imasncls  21618  utop2nei  22176  utop3cls  22177  qtophaus  30133  txpconn  31442
  Copyright terms: Public domain W3C validator