MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txtop 21574
Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
txtop ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)

Proof of Theorem txtop
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
21txval 21569 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3 topbas 20978 . . . 4 (𝑅 ∈ Top → 𝑅 ∈ TopBases)
4 topbas 20978 . . . 4 (𝑆 ∈ Top → 𝑆 ∈ TopBases)
51txbas 21572 . . . 4 ((𝑅 ∈ TopBases ∧ 𝑆 ∈ TopBases) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
63, 4, 5syl2an 495 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases)
7 tgcl 20975 . . 3 (ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ TopBases → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
86, 7syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) ∈ Top)
92, 8eqeltrd 2839 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ Top) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139   × cxp 5264  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  topGenctg 16300  Topctop 20900  TopBasesctb 20951   ×t ctx 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-topgen 16306  df-top 20901  df-bases 20952  df-tx 21567
This theorem is referenced by:  txtopi  21595  txtopon  21596  txcld  21608  neitx  21612  txlly  21641  txnlly  21642  txcmplem1  21646  txcmp  21648  hausdiag  21650  txhaus  21652  tx1stc  21655  txkgen  21657  xkococn  21665  xkoinjcn  21692  txconn  21694  imasnopn  21695  imasncls  21697  utop2nei  22255  utop3cls  22256  qtophaus  30212  txpconn  31521
  Copyright terms: Public domain W3C validator