MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txbasval 21631
Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txbasval
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
21txval 21589 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3 bastg 20992 . . . . . . 7 (𝑅𝑉𝑅 ⊆ (topGen‘𝑅))
4 bastg 20992 . . . . . . 7 (𝑆𝑊𝑆 ⊆ (topGen‘𝑆))
5 resmpt2 6924 . . . . . . 7 ((𝑅 ⊆ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑆 ⊆ (topGen‘𝑆)) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) = (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))
63, 4, 5syl2an 495 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) = (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))
7 resss 5580 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
86, 7syl6eqssr 3797 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
9 rnss 5509 . . . . 5 ((𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
11 eltg3 20988 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉 → (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ↔ ∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚)))
12 eltg3 20988 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑊 → (𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↔ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)))
1311, 12bi2anan9 953 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)) ↔ (∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛))))
14 eeanv 2327 . . . . . . . . . 10 (∃𝑚𝑛((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) ↔ (∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)))
15 an4 900 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) ↔ ((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛)))
16 uniiun 4725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 = 𝑥𝑚 𝑥
17 uniiun 4725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛 = 𝑦𝑛 𝑦
1816, 17xpeq12i 5294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑚 × 𝑛) = ( 𝑥𝑚 𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦)
19 xpiundir 5331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑥𝑚 𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑥𝑚 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦)
20 xpiundi 5330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑚 → (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦))
2221iuneq2i 4691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑚 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
2318, 19, 223eqtri 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑚 × 𝑛) = 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
24 ovex 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V
25 ssel2 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚𝑅𝑥𝑚) → 𝑥𝑅)
26 ssel2 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛𝑆𝑦𝑛) → 𝑦𝑆)
2725, 26anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑚𝑅𝑥𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑦𝑛)) → (𝑥𝑅𝑦𝑆))
2827an4s 904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛)) → (𝑥𝑅𝑦𝑆))
29 txopn 21627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑆)) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3028, 29sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ ((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛))) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3130anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛)) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3231anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) ∧ 𝑦𝑛) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3332ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → ∀𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
34 tgiun 21005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ×t 𝑆) ∈ V ∧ ∀𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
3524, 33, 34sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
361txbasex 21591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V)
37 tgidm 21006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V → (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
392fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))))
4038, 39, 23eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4335, 42eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
4443ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ∀𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
45 tgiun 21005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ×t 𝑆) ∈ V ∧ ∀𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
4624, 44, 45sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
4746, 41eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
4823, 47syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ( 𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
49 xpeq12 5291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → (𝑢 × 𝑣) = ( 𝑚 × 𝑛))
5049eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → ((𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ ( 𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5148, 50syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5251expimpd 630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5315, 52syl5bi 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5453exlimdvv 2011 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (∃𝑚𝑛((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5514, 54syl5bir 233 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5613, 55sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5756ralrimivv 3108 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝑅)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)(𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
58 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) = (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
5958fmpt2 7406 . . . . . . 7 (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝑅)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)(𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆))
6057, 59sylib 208 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆))
61 frn 6214 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑅 ×t 𝑆))
6260, 61syl 17 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑅 ×t 𝑆))
6362, 2sseqtrd 3782 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
64 2basgen 21016 . . . 4 ((ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∧ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
6510, 63, 64syl2anc 696 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
66 fvex 6363 . . . 4 (topGen‘𝑅) ∈ V
67 fvex 6363 . . . 4 (topGen‘𝑆) ∈ V
68 eqid 2760 . . . . 5 ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
6968txval 21589 . . . 4 (((topGen‘𝑅) ∈ V ∧ (topGen‘𝑆) ∈ V) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
7066, 67, 69mp2an 710 . . 3 ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
7165, 70syl6eqr 2812 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)))
722, 71eqtr2d 2795 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wral 3050  Vcvv 3340  wss 3715   cuni 4588   ciun 4672   × cxp 5264  ran crn 5267  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  topGenctg 16320   ×t ctx 21585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-topgen 16326  df-tx 21587
This theorem is referenced by:  tx2ndc  21676  mbfimaopnlem  23641
  Copyright terms: Public domain W3C validator