MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txbasex 21563
Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1 𝐵 = ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))
Assertion
Ref Expression
txbasex ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → 𝐵 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem txbasex
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . 4 𝐵 = ran (𝑥𝑅, 𝑦𝑆 ↦ (𝑥 × 𝑦))
2 eqid 2752 . . . 4 𝑅 = 𝑅
3 eqid 2752 . . . 4 𝑆 = 𝑆
41, 2, 3txuni2 21562 . . 3 ( 𝑅 × 𝑆) = 𝐵
5 uniexg 7112 . . . 4 (𝑅𝑉 𝑅 ∈ V)
6 uniexg 7112 . . . 4 (𝑆𝑊 𝑆 ∈ V)
7 xpexg 7117 . . . 4 (( 𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → ( 𝑅 × 𝑆) ∈ V)
85, 6, 7syl2an 495 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ( 𝑅 × 𝑆) ∈ V)
94, 8syl5eqelr 2836 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → 𝐵 ∈ V)
10 uniexb 7130 . 2 (𝐵 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V)
119, 10sylibr 224 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  Vcvv 3332   cuni 4580   × cxp 5256  ran crn 5259  cmpt2 6807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-fv 6049  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326
This theorem is referenced by:  txbas  21564  eltx  21565  txtopon  21588  txopn  21599  txss12  21602  txbasval  21603  txrest  21628  sxsiga  30555  elsx  30558  mbfmco2  30628
  Copyright terms: Public domain W3C validator