MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ttgcontlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ttgcontlem1 25956
Description: Lemma for % ttgcont . (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ttgval.n 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m = (-g𝐻)
ttgitvval.s · = ( ·𝑠𝐻)
ttgelitv.x (𝜑𝑋𝑃)
ttgelitv.y (𝜑𝑌𝑃)
ttgbtwnid.r 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgitvval.p + = (+g𝐻)
ttgcontlem1.h (𝜑𝐻 ∈ ℂVec)
ttgcontlem1.a (𝜑𝐴𝑃)
ttgcontlem1.n (𝜑𝑁𝑃)
ttgcontlem1.o (𝜑𝑀 ≠ 0)
ttgcontlem1.p (𝜑𝐾 ≠ 0)
ttgcontlem1.q (𝜑𝐾 ≠ 1)
ttgcontlem1.r (𝜑𝐿𝑀)
ttgcontlem1.s (𝜑𝐿 ≤ (𝑀 / 𝐾))
ttgcontlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0[,]1))
ttgcontlem1.k (𝜑𝐾 ∈ (0[,]1))
ttgcontlem1.m (𝜑𝑀 ∈ (0[,]𝐿))
ttgcontlem1.y (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝐾 · (𝑌 𝐴)))
ttgcontlem1.x (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑀 · (𝑁 𝐴)))
ttgcontlem1.b (𝜑𝐵 = (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))))
Assertion
Ref Expression
ttgcontlem1 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem ttgcontlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unitssre 12504 . . . . . . . 8 (0[,]1) ⊆ ℝ
2 ttgcontlem1.l . . . . . . . 8 (𝜑𝐿 ∈ (0[,]1))
31, 2sseldi 3734 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
4 ttgcontlem1.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (0[,]1))
51, 4sseldi 3734 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
63, 5remulcld 10254 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐾) ∈ ℝ)
7 0re 10224 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
8 iccssre 12440 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0[,]𝐿) ⊆ ℝ)
97, 3, 8sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]𝐿) ⊆ ℝ)
10 ttgcontlem1.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (0[,]𝐿))
119, 10sseldd 3737 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1211, 5remulcld 10254 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℝ)
136, 12resubcld 10642 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℝ)
14 1red 10239 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
1511, 14remulcld 10254 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 1) ∈ ℝ)
1615, 12resubcld 10642 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℝ)
1711recnd 10252 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
18 1cnd 10240 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
195recnd 10252 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
2017, 18, 19subdid 10670 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (1 − 𝐾)) = ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)))
2118, 19subcld 10576 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
22 ttgcontlem1.o . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ≠ 0)
23 ttgcontlem1.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≠ 1)
2423necomd 2979 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≠ 𝐾)
2518, 19, 24subne0d 10585 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐾) ≠ 0)
2617, 21, 22, 25mulne0d 10863 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (1 − 𝐾)) ≠ 0)
2720, 26eqnetrrd 2992 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ≠ 0)
2813, 16, 27redivcld 11037 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ ℝ)
29 0xr 10270 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
313rexrd 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
32 iccgelb 12415 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*𝑀 ∈ (0[,]𝐿)) → 0 ≤ 𝑀)
3330, 31, 10, 32syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
3411, 33, 22ne0gt0d 10358 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
3511, 34elrpd 12054 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
3614rexrd 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
37 iccleub 12414 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝐾 ∈ (0[,]1)) → 𝐾 ≤ 1)
3830, 36, 4, 37syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≤ 1)
395, 14ltlend 10366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ (𝐾 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝐾)))
4038, 24, 39mpbir2and 995 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 < 1)
41 difrp 12053 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 ↔ (1 − 𝐾) ∈ ℝ+))
425, 14, 41syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ (1 − 𝐾) ∈ ℝ+))
4340, 42mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℝ+)
4435, 43rpmulcld 12073 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · (1 − 𝐾)) ∈ ℝ+)
4520, 44eqeltrrd 2832 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℝ+)
463, 11resubcld 10642 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝑀) ∈ ℝ)
47 iccleub 12414 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝐿 ∈ ℝ*𝑀 ∈ (0[,]𝐿)) → 𝑀𝐿)
4830, 31, 10, 47syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝐿)
493, 11subge0d 10801 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝐿𝑀) ↔ 𝑀𝐿))
5048, 49mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐿𝑀))
51 iccgelb 12415 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝐾 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝐾)
5230, 36, 4, 51syl3anc 1473 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
5346, 5, 50, 52mulge0d 10788 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐿𝑀) · 𝐾))
543recnd 10252 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
5554, 17, 19subdird 10671 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿𝑀) · 𝐾) = ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)))
5653, 55breqtrd 4822 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)))
5713, 45, 56divge0d 12097 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))))
58 ttgcontlem1.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ≤ (𝑀 / 𝐾))
59 ttgcontlem1.p . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ≠ 0)
605, 52, 59ne0gt0d 10358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐾)
615, 60elrpd 12054 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
623, 11, 61lemuldivd 12106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) ≤ 𝑀𝐿 ≤ (𝑀 / 𝐾)))
6358, 62mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 · 𝐾) ≤ 𝑀)
6417mulid1d 10241 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
6563, 64breqtrrd 4824 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿 · 𝐾) ≤ (𝑀 · 1))
666, 15, 12, 65lesub1dd 10827 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ≤ ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)))
6717, 18mulcld 10244 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 1) ∈ ℂ)
6817, 19mulcld 10244 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℂ)
6967, 68subcld 10576 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℂ)
7069mulid1d 10241 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) · 1) = ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)))
7166, 70breqtrrd 4824 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ≤ (((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) · 1))
7213, 14, 45ledivmuld 12110 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ≤ 1 ↔ ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ≤ (((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) · 1)))
7371, 72mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ≤ 1)
74 1re 10223 . . . . 5 1 ∈ ℝ
757, 74elicc2i 12424 . . . 4 ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ (0[,]1) ↔ ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∧ (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ≤ 1))
7628, 57, 73, 75syl3anbrc 1426 . . 3 (𝜑 → (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ (0[,]1))
77 ttgcontlem1.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ ℂVec)
7877cvsclm 23118 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ ℂMod)
79 ttgbtwnid.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
8079, 2sseldd 3737 . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑅)
81 0elunit 12475 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]1)
82 iccss2 12429 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐿 ∈ (0[,]1)) → (0[,]𝐿) ⊆ (0[,]1))
8381, 2, 82sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0[,]𝐿) ⊆ (0[,]1))
8483, 79sstrd 3746 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]𝐿) ⊆ 𝑅)
8584, 10sseldd 3737 . . . . . . 7 (𝜑𝑀𝑅)
86 eqid 2752 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
87 ttgbtwnid.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
8886, 87clmsubcl 23078 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 𝐿𝑅𝑀𝑅) → (𝐿𝑀) ∈ 𝑅)
8978, 80, 85, 88syl3anc 1473 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿𝑀) ∈ 𝑅)
9086, 87cvsdivcl 23125 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ ℂVec ∧ ((𝐿𝑀) ∈ 𝑅𝑀𝑅𝑀 ≠ 0)) → ((𝐿𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅)
9177, 89, 85, 22, 90syl13anc 1475 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅)
9279, 4sseldd 3737 . . . . . 6 (𝜑𝐾𝑅)
93 1elunit 12476 . . . . . . . . 9 1 ∈ (0[,]1)
9493a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
9579, 94sseldd 3737 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ 𝑅)
9686, 87clmsubcl 23078 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ 𝑅𝐾𝑅) → (1 − 𝐾) ∈ 𝑅)
9778, 95, 92, 96syl3anc 1473 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ 𝑅)
9886, 87cvsdivcl 23125 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ ℂVec ∧ (𝐾𝑅 ∧ (1 − 𝐾) ∈ 𝑅 ∧ (1 − 𝐾) ≠ 0)) → (𝐾 / (1 − 𝐾)) ∈ 𝑅)
9977, 92, 97, 25, 98syl13anc 1475 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 / (1 − 𝐾)) ∈ 𝑅)
100 clmgrp 23060 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ Grp)
10178, 100syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
102 ttgelitv.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑃)
103 ttgelitv.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑃)
104 ttgitvval.b . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐻)
105 ttgitvval.m . . . . . . 7 = (-g𝐻)
106104, 105grpsubcl 17688 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑃𝑋𝑃) → (𝑌 𝑋) ∈ 𝑃)
107101, 102, 103, 106syl3anc 1473 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 𝑋) ∈ 𝑃)
108 ttgitvval.s . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐻)
109104, 86, 108, 87clmvsass 23081 . . . . 5 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (((𝐿𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅 ∧ (𝐾 / (1 − 𝐾)) ∈ 𝑅 ∧ (𝑌 𝑋) ∈ 𝑃)) → ((((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) · (𝑌 𝑋)) = (((𝐿𝑀) / 𝑀) · ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋))))
11078, 91, 99, 107, 109syl13anc 1475 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) · (𝑌 𝑋)) = (((𝐿𝑀) / 𝑀) · ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋))))
11146recnd 10252 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝑀) ∈ ℂ)
112111, 17, 19, 21, 22, 25divmuldivd 11026 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) = (((𝐿𝑀) · 𝐾) / (𝑀 · (1 − 𝐾))))
11355, 20oveq12d 6823 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐿𝑀) · 𝐾) / (𝑀 · (1 − 𝐾))) = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))))
114112, 113eqtrd 2786 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))))
115114oveq1d 6820 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) · (𝑌 𝑋)) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 𝑋)))
116 ttgcontlem1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑃)
117104, 105grpsubcl 17688 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑃𝐴𝑃) → (𝑋 𝐴) ∈ 𝑃)
118101, 103, 116, 117syl3anc 1473 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝐴) ∈ 𝑃)
119 ttgcontlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝐾 · (𝑌 𝐴)))
120119oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑋 𝐴)) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
12119, 21mulcomd 10245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 · (1 − 𝐾)) = ((1 − 𝐾) · 𝐾))
122121oveq1d 6820 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 · (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝐴)) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (𝑌 𝐴)))
123104, 105grpsubcl 17688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑌𝑃𝐴𝑃) → (𝑌 𝐴) ∈ 𝑃)
124101, 102, 116, 123syl3anc 1473 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 𝐴) ∈ 𝑃)
125104, 86, 108, 87clmvsass 23081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (𝐾𝑅 ∧ (1 − 𝐾) ∈ 𝑅 ∧ (𝑌 𝐴) ∈ 𝑃)) → ((𝐾 · (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝐴)) = (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴))))
12678, 92, 97, 124, 125syl13anc 1475 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾 · (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝐴)) = (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴))))
127104, 86, 108, 87clmvsass 23081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ ((1 − 𝐾) ∈ 𝑅𝐾𝑅 ∧ (𝑌 𝐴) ∈ 𝑃)) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (𝑌 𝐴)) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
12878, 97, 92, 124, 127syl13anc 1475 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (𝑌 𝐴)) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
129122, 126, 1283eqtr3d 2794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴))) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
130 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . 13 (-g‘(Scalar‘𝐻)) = (-g‘(Scalar‘𝐻))
131 clmlmod 23059 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
13278, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ LMod)
133104, 108, 86, 87, 105, 130, 132, 95, 92, 124lmodsubdir 19115 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾) · (𝑌 𝐴)) = ((1 · (𝑌 𝐴)) (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
13486, 87clmsub 23072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ 𝑅𝐾𝑅) → (1 − 𝐾) = (1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾))
13578, 95, 92, 134syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 − 𝐾) = (1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾))
136135oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴)) = ((1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾) · (𝑌 𝐴)))
137104, 108clmvs1 23085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (𝑌 𝐴) ∈ 𝑃) → (1 · (𝑌 𝐴)) = (𝑌 𝐴))
13878, 124, 137syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 · (𝑌 𝐴)) = (𝑌 𝐴))
139138eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 𝐴) = (1 · (𝑌 𝐴)))
140139, 119oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 𝐴) (𝑋 𝐴)) = ((1 · (𝑌 𝐴)) (𝐾 · (𝑌 𝐴))))
141133, 136, 1403eqtr4d 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴)) = ((𝑌 𝐴) (𝑋 𝐴)))
142104, 105grpnnncan2 17705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑌𝑃𝑋𝑃𝐴𝑃)) → ((𝑌 𝐴) (𝑋 𝐴)) = (𝑌 𝑋))
143101, 102, 103, 116, 142syl13anc 1475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑌 𝐴) (𝑋 𝐴)) = (𝑌 𝑋))
144141, 143eqtrd 2786 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴)) = (𝑌 𝑋))
145144oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 𝐴))) = (𝐾 · (𝑌 𝑋)))
146120, 129, 1453eqtr2rd 2793 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 · (𝑌 𝑋)) = ((1 − 𝐾) · (𝑋 𝐴)))
147104, 108, 86, 87, 77, 92, 97, 107, 118, 59, 146cvsmuleqdivd 23126 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 𝑋) = (((1 − 𝐾) / 𝐾) · (𝑋 𝐴)))
148104, 108, 86, 87, 77, 97, 92, 107, 118, 25, 59, 147cvsdiveqd 23127 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋)) = (𝑋 𝐴))
149148, 118eqeltrd 2831 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋)) ∈ 𝑃)
150 ttgcontlem1.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))))
151 ttgcontlem1.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑃)
152104, 105grpsubcl 17688 . . . . . . . . . 10 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑁𝑃𝐴𝑃) → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑃)
153101, 151, 116, 152syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 𝐴) ∈ 𝑃)
154104, 86, 108, 87lmodvscl 19074 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝐿𝑅 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑃) → (𝐿 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑃)
155132, 80, 153, 154syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑃)
156 ttgitvval.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝐻)
157104, 156grpcl 17623 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑃 ∧ (𝐿 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑃) → (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))) ∈ 𝑃)
158101, 116, 155, 157syl3anc 1473 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))) ∈ 𝑃)
159150, 158eqeltrd 2831 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
160104, 105grpsubcl 17688 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑃𝑋𝑃) → (𝐵 𝑋) ∈ 𝑃)
161101, 159, 103, 160syl3anc 1473 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 𝑋) ∈ 𝑃)
162 ttgcontlem1.r . . . . . 6 (𝜑𝐿𝑀)
16354, 17, 162subne0d 10585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿𝑀) ≠ 0)
164 ttgcontlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 𝐴) = (𝑀 · (𝑁 𝐴)))
165164oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐿𝑀) · (𝑋 𝐴)) = ((𝐿𝑀) · (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
16617, 111mulcomd 10245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 · (𝐿𝑀)) = ((𝐿𝑀) · 𝑀))
167166oveq1d 6820 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · (𝐿𝑀)) · (𝑁 𝐴)) = (((𝐿𝑀) · 𝑀) · (𝑁 𝐴)))
168104, 86, 108, 87clmvsass 23081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (𝑀𝑅 ∧ (𝐿𝑀) ∈ 𝑅 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑃)) → ((𝑀 · (𝐿𝑀)) · (𝑁 𝐴)) = (𝑀 · ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴))))
16978, 85, 89, 153, 168syl13anc 1475 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · (𝐿𝑀)) · (𝑁 𝐴)) = (𝑀 · ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴))))
170104, 86, 108, 87clmvsass 23081 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ ((𝐿𝑀) ∈ 𝑅𝑀𝑅 ∧ (𝑁 𝐴) ∈ 𝑃)) → (((𝐿𝑀) · 𝑀) · (𝑁 𝐴)) = ((𝐿𝑀) · (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
17178, 89, 85, 153, 170syl13anc 1475 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐿𝑀) · 𝑀) · (𝑁 𝐴)) = ((𝐿𝑀) · (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
172167, 169, 1713eqtr3d 2794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴))) = ((𝐿𝑀) · (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
173104, 108, 86, 87, 105, 130, 132, 80, 85, 153lmodsubdir 19115 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀) · (𝑁 𝐴)) = ((𝐿 · (𝑁 𝐴)) (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
17486, 87clmsub 23072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 𝐿𝑅𝑀𝑅) → (𝐿𝑀) = (𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀))
17578, 80, 85, 174syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐿𝑀) = (𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀))
176175oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴)) = ((𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀) · (𝑁 𝐴)))
177150oveq1d 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = ((𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))) 𝐴))
178 lmodabl 19104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ LMod → 𝐻 ∈ Abel)
179132, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻 ∈ Abel)
180104, 156, 105ablpncan2 18413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻 ∈ Abel ∧ 𝐴𝑃 ∧ (𝐿 · (𝑁 𝐴)) ∈ 𝑃) → ((𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))) 𝐴) = (𝐿 · (𝑁 𝐴)))
181179, 116, 155, 180syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 + (𝐿 · (𝑁 𝐴))) 𝐴) = (𝐿 · (𝑁 𝐴)))
182177, 181eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 𝐴) = (𝐿 · (𝑁 𝐴)))
183182, 164oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐵 𝐴) (𝑋 𝐴)) = ((𝐿 · (𝑁 𝐴)) (𝑀 · (𝑁 𝐴))))
184173, 176, 1833eqtr4d 2796 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴)) = ((𝐵 𝐴) (𝑋 𝐴)))
185104, 105grpnnncan2 17705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐵𝑃𝑋𝑃𝐴𝑃)) → ((𝐵 𝐴) (𝑋 𝐴)) = (𝐵 𝑋))
186101, 159, 103, 116, 185syl13anc 1475 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 𝐴) (𝑋 𝐴)) = (𝐵 𝑋))
187184, 186eqtrd 2786 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴)) = (𝐵 𝑋))
188187oveq2d 6821 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · ((𝐿𝑀) · (𝑁 𝐴))) = (𝑀 · (𝐵 𝑋)))
189165, 172, 1883eqtr2rd 2793 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · (𝐵 𝑋)) = ((𝐿𝑀) · (𝑋 𝐴)))
190104, 108, 86, 87, 77, 85, 89, 161, 118, 22, 189cvsmuleqdivd 23126 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 𝑋) = (((𝐿𝑀) / 𝑀) · (𝑋 𝐴)))
191104, 108, 86, 87, 77, 89, 85, 161, 118, 163, 22, 190cvsdiveqd 23127 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 / (𝐿𝑀)) · (𝐵 𝑋)) = (𝑋 𝐴))
192148, 191eqtr4d 2789 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋)) = ((𝑀 / (𝐿𝑀)) · (𝐵 𝑋)))
193104, 108, 86, 87, 77, 85, 89, 149, 161, 22, 163, 192cvsdiveqd 23127 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿𝑀) / 𝑀) · ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 𝑋))) = (𝐵 𝑋))
194110, 115, 1933eqtr3rd 2795 . . 3 (𝜑 → (𝐵 𝑋) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 𝑋)))
195 oveq1 6812 . . . . 5 (𝑘 = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) → (𝑘 · (𝑌 𝑋)) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 𝑋)))
196195eqeq2d 2762 . . . 4 (𝑘 = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) → ((𝐵 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)) ↔ (𝐵 𝑋) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 𝑋))))
197196rspcev 3441 . . 3 (((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ (0[,]1) ∧ (𝐵 𝑋) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 𝑋))) → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝐵 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)))
19876, 194, 197syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝐵 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋)))
199 ttgval.n . . 3 𝐺 = (toTG‘𝐻)
200 ttgitvval.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
201199, 200, 104, 105, 108, 103, 102, 77, 159ttgelitv 25954 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝐵 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 𝑋))))
202198, 201mpbird 247 1 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wrex 3043  wss 3707   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   · cmul 10125  *cxr 10257   < clt 10258  cle 10259  cmin 10450   / cdiv 10868  +crp 12017  [,]cicc 12363  Basecbs 16051  +gcplusg 16135  Scalarcsca 16138   ·𝑠 cvsca 16139  Grpcgrp 17615  -gcsg 17617  Abelcabl 18386  LModclmod 19057  ℂModcclm 23054  ℂVecccvs 23115  Itvcitv 25526  toTGcttg 25944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-rp 12018  df-icc 12367  df-fz 12512  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-subg 17784  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-dvr 18875  df-drng 18943  df-subrg 18972  df-lmod 19059  df-lvec 19297  df-cnfld 19941  df-clm 23055  df-cvs 23116  df-itv 25528  df-lng 25529  df-ttg 25945
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator