MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsxplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsxplem2 22004
Description: Lemma for tsmsxp 22005. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsxp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsxp.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsxp.2 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
tsmsxp.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsxp.c (𝜑𝐶𝑊)
tsmsxp.f (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
tsmsxp.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
tsmsxp.1 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐻𝑗) ∈ (𝐺 tsums (𝑘𝐶 ↦ (𝑗𝐹𝑘))))
tsmsxp.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsxp.z 0 = (0g𝐺)
tsmsxp.p + = (+g𝐺)
tsmsxp.m = (-g𝐺)
tsmsxp.l (𝜑𝐿𝐽)
tsmsxp.3 (𝜑0𝐿)
tsmsxp.k (𝜑𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
tsmsxp.4 (𝜑 → ∀𝑐𝑆𝑑𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈)
tsmsxp.n (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
tsmsxp.s (𝜑𝐷 ⊆ (𝐾 × 𝑁))
tsmsxp.x (𝜑 → ∀𝑥𝐾 ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
tsmsxp.5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆)
tsmsxp.6 (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (𝐿𝑚 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
tsmsxplem2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘, 0   𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥,𝐺   𝐵,𝑔,𝑘   𝐷,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑔,𝐿,𝑗,𝑥   𝐴,𝑔,𝑗,𝑘   𝐾,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑆,𝑐   𝐻,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝑁,𝑐,𝑑,𝑔,𝑥   𝑈,𝑐,𝑑   ,𝑑,𝑔,𝑗,𝑥   𝐶,𝑔,𝑗,𝑘   𝑇,𝑐,𝑑,𝑔   + ,𝑐,𝑑,𝑔   𝐹,𝑐,𝑑,𝑔,𝑗,𝑘,𝑥   𝜑,𝑔,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐴(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐵(𝑥,𝑗,𝑐,𝑑)   𝐶(𝑥,𝑐,𝑑)   𝐷(𝑐,𝑑)   + (𝑥,𝑗,𝑘)   𝑆(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑑)   𝑇(𝑥,𝑗,𝑘)   𝑈(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘)   𝐻(𝑐)   𝐽(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐿(𝑘,𝑐,𝑑)   (𝑘,𝑐)   𝑁(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑔,𝑗,𝑘,𝑐,𝑑)   0 (𝑥,𝑗,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem tsmsxplem2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsxp.2 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
2 tgpgrp 21929 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 tsmsxp.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 isabl 18243 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ CMnd))
63, 4, 5sylanbrc 699 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
7 tsmsxp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 tsmsxp.z . . . 4 0 = (0g𝐺)
9 tsmsxp.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10 elfpw 8309 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝐾𝐴𝐾 ∈ Fin))
1110simprbi 479 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐾 ∈ Fin)
129, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
13 tsmsxp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin))
14 elfpw 8309 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↔ (𝑁𝐶𝑁 ∈ Fin))
1514simprbi 479 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑁 ∈ Fin)
1613, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
17 xpfi 8272 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐾 × 𝑁) ∈ Fin)
1812, 16, 17syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 × 𝑁) ∈ Fin)
19 tsmsxp.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
2010simplbi 475 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝐾𝐴)
219, 20syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾𝐴)
2214simplbi 475 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑁𝐶)
2313, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝐶)
24 xpss12 5158 . . . . . 6 ((𝐾𝐴𝑁𝐶) → (𝐾 × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
2521, 23, 24syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
2619, 25fssresd 6109 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)):(𝐾 × 𝑁)⟶𝐵)
27 tsmsxp.3 . . . . 5 (𝜑0𝐿)
2826, 18, 27fdmfifsupp 8326 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)) finSupp 0 )
297, 8, 4, 18, 26, 28gsumcl 18362 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝐵)
30 tsmsxp.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
3130, 21fssresd 6109 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐾):𝐾𝐵)
3231, 12, 27fdmfifsupp 8326 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐾) finSupp 0 )
337, 8, 4, 12, 31, 32gsumcl 18362 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝐵)
34 tsmsxp.p . . . 4 + = (+g𝐺)
35 tsmsxp.m . . . 4 = (-g𝐺)
367, 34, 35ablpncan3 18268 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝐵)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐻𝐾)))
376, 29, 33, 36syl12anc 1364 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐻𝐾)))
38 tsmsxp.5 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆)
394adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝐺 ∈ CMnd)
40 snfi 8079 . . . . . . . . 9 {𝑦} ∈ Fin
4116adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑁 ∈ Fin)
42 xpfi 8272 . . . . . . . . 9 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → ({𝑦} × 𝑁) ∈ Fin)
4340, 41, 42sylancr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → ({𝑦} × 𝑁) ∈ Fin)
4419adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
4521sselda 3636 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑦𝐴)
4645snssd 4372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → {𝑦} ⊆ 𝐴)
4723adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑁𝐶)
48 xpss12 5158 . . . . . . . . . 10 (({𝑦} ⊆ 𝐴𝑁𝐶) → ({𝑦} × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
4946, 47, 48syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → ({𝑦} × 𝑁) ⊆ (𝐴 × 𝐶))
5044, 49fssresd 6109 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)):({𝑦} × 𝑁)⟶𝐵)
51 fvex 6239 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐺) ∈ V
528, 51eqeltri 2726 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
5352a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → 0 ∈ V)
5450, 43, 53fdmfifsupp 8326 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)) finSupp 0 )
557, 8, 39, 43, 50, 54gsumcl 18362 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) ∈ 𝐵)
56 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))
5755, 56fmptd 6425 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))):𝐾𝐵)
58 ovexd 6720 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) ∈ V)
5956, 12, 58, 27fsuppmptdm 8327 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) finSupp 0 )
607, 8, 35, 6, 12, 31, 57, 32, 59gsumsub 18394 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐻𝐾) ∘𝑓 (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
61 fvexd 6241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐻𝑦) ∈ V)
6230, 21feqresmpt 6289 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻𝐾) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐻𝑦)))
63 eqidd 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
6412, 61, 58, 62, 63offval2 6956 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻𝐾) ∘𝑓 (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))))
6564oveq2d 6706 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝐻𝐾) ∘𝑓 (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
66 cmnmnd 18254 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
6739, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝐺 ∈ Mnd)
68 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → 𝑦𝐾)
6944adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → 𝐹:(𝐴 × 𝐶)⟶𝐵)
7045adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → 𝑦𝐴)
7147sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → 𝑧𝐶)
7269, 70, 71fovrnd 6848 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → (𝑦𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
73 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) = (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))
7472, 73fmptd 6425 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)):𝑁𝐵)
75 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → (𝑦𝐹𝑧) ∈ V)
7673, 41, 75, 53fsuppmptdm 8327 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)) finSupp 0 )
777, 8, 39, 41, 74, 76gsumcl 18362 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐵)
78 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ {𝑦} ↔ 𝑤 = 𝑦)
79 ovres 6842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ {𝑦} ∧ 𝑧𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑤𝐹𝑧))
8078, 79sylanbr 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 = 𝑦𝑧𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑤𝐹𝑧))
81 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 = 𝑦𝑧𝑁) → (𝑤𝐹𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8380, 82eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 = 𝑦𝑧𝑁) → (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
8483mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑦 → (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧)) = (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
8584oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
867, 85gsumsn 18400 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑦𝐾 ∧ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))) ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
8767, 68, 77, 86syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
8840a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → {𝑦} ∈ Fin)
897, 8, 39, 88, 41, 50, 54gsumxp 18421 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑤 ∈ {𝑦} ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑤(𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))𝑧))))))
90 ovres 6842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐾𝑧𝑁) → (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
9190adantll 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦𝐾) ∧ 𝑧𝑁) → (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧) = (𝑦𝐹𝑧))
9291mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧)) = (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧)))
9392oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦𝐹𝑧))))
9487, 89, 933eqtr4d 2695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐾) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))
9594mpteq2dva 4777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) = (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧)))))
9695oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))))
977, 8, 4, 12, 16, 26, 28gsumxp 18421 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝑧𝑁 ↦ (𝑦(𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))𝑧))))))
9896, 97eqtr4d 2688 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))
9998oveq2d 6706 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))))
10060, 65, 993eqtr3d 2693 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))))
101 tsmsxp.x . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥𝐾 ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
102 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑦))
103 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
104103xpeq1d 5172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ({𝑥} × 𝑁) = ({𝑦} × 𝑁))
105104reseq2d 5428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)) = (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))
106105oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁))) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))
107102, 106oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) = ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
108107eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿 ↔ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿))
109108rspccva 3339 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐾 ((𝐻𝑥) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑥} × 𝑁)))) ∈ 𝐿𝑦𝐾) → ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
110101, 109sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐾) → ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))) ∈ 𝐿)
111 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))
112110, 111fmptd 6425 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))):𝐾𝐿)
113 tsmsxp.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝐽)
114113, 9elmapd 7913 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿𝑚 𝐾) ↔ (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))):𝐾𝐿))
115112, 114mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿𝑚 𝐾))
116 tsmsxp.6 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑔 ∈ (𝐿𝑚 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇)
117 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) → (𝐺 Σg 𝑔) = (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))))
118117eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) → ((𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇 ↔ (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇))
119118rspcv 3336 . . . . 5 ((𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁))))) ∈ (𝐿𝑚 𝐾) → (∀𝑔 ∈ (𝐿𝑚 𝐾)(𝐺 Σg 𝑔) ∈ 𝑇 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇))
120115, 116, 119sylc 65 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑦𝐾 ↦ ((𝐻𝑦) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ ({𝑦} × 𝑁)))))) ∈ 𝑇)
121100, 120eqeltrrd 2731 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) ∈ 𝑇)
122 tsmsxp.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑐𝑆𝑑𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈)
123 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑐 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) → (𝑐 + 𝑑) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑))
124123eleq1d 2715 . . . 4 (𝑐 = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) → ((𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) ∈ 𝑈))
125 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑑 = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) = ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))))
126125eleq1d 2715 . . . 4 (𝑑 = ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) → (((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + 𝑑) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈))
127124, 126rspc2va 3354 . . 3 ((((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) ∈ 𝑆 ∧ ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁)))) ∈ 𝑇) ∧ ∀𝑐𝑆𝑑𝑇 (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑈) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈)
12838, 121, 122, 127syl21anc 1365 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))) + ((𝐺 Σg (𝐻𝐾)) (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐾 × 𝑁))))) ∈ 𝑈)
12937, 128eqeltrrd 2731 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐻𝐾)) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  cmpt 4762   × cxp 5141  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  TopOpenctopn 16129  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  CMndccmn 18239  Abelcabl 18240  TopGrpctgp 21922   tsums ctsu 21976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-tgp 21924
This theorem is referenced by:  tsmsxp  22005
  Copyright terms: Public domain W3C validator