Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsmhm 22169
 Description: Apply a continuous group homomorphism to an infinite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsmhm.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmsmhm.k 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
tsmsmhm.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsmhm.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsmhm.3 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
tsmsmhm.4 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
tsmsmhm.5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
tsmsmhm.6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
tsmsmhm.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsmhm.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsmhm.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmsmhm (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶𝐹)))

Proof of Theorem tsmsmhm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsmhm.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
2 tsmsmhm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tsmsmhm.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
42, 3istps 20959 . . . 4 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
51, 4sylib 208 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6 eqid 2771 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
7 eqid 2771 . . . . 5 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
8 eqid 2771 . . . . 5 ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) = ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})
9 tsmsmhm.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
106, 7, 8, 9tsmsfbas 22151 . . . 4 (𝜑 → ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
11 fgcl 21902 . . . 4 (ran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
13 tsmsmhm.1 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
14 tsmsmhm.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
152, 6, 13, 9, 14tsmslem1 22152 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝐵)
16 eqid 2771 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))
1715, 16fmptd 6527 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵)
18 tsmsmhm.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
192, 3, 6, 8, 1, 9, 14tsmsval 22154 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
2018, 19eleqtrd 2852 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
21 tsmsmhm.6 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
222, 13, 1, 9, 14tsmscl 22158 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
2322, 18sseldd 3753 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
24 toponuni 20939 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
255, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐵 = 𝐽)
2623, 25eleqtrd 2852 . . . 4 (𝜑𝑋 𝐽)
27 eqid 2771 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2827cncnpi 21303 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ 𝑋 𝐽) → 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
2921, 26, 28syl2anc 573 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))
30 flfcnp 22028 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵) ∧ (𝑋 ∈ ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) ∧ 𝐶 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑋))) → (𝐶𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
315, 12, 17, 20, 29, 30syl32anc 1484 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
32 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
33 tsmsmhm.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘𝐻)
34 tsmsmhm.3 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ CMnd)
35 tsmsmhm.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ TopSp)
3632, 33istps 20959 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ TopSp ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
3735, 36sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)))
38 cnf2 21274 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘(Base‘𝐻)) ∧ 𝐶 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
395, 37, 21, 38syl3anc 1476 . . . . 5 (𝜑𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻))
40 fco 6198 . . . . 5 ((𝐶:𝐵⟶(Base‘𝐻) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐶𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
4139, 14, 40syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐹):𝐴⟶(Base‘𝐻))
4232, 33, 6, 8, 34, 9, 41tsmsval 22154 . . 3 (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)))))
43 eqidd 2772 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
4439feqmptd 6391 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (𝑤𝐵 ↦ (𝐶𝑤)))
45 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑤 = (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) → (𝐶𝑤) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
4615, 43, 44, 45fmptco 6539 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
47 resco 5783 . . . . . . . 8 ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧) = (𝐶 ∘ (𝐹𝑧))
4847oveq2i 6804 . . . . . . 7 (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹𝑧)))
49 eqid 2771 . . . . . . . 8 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5013adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
5134adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ CMnd)
52 cmnmnd 18415 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ CMnd → 𝐻 ∈ Mnd)
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐻 ∈ Mnd)
54 elfpw 8424 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑧𝐴𝑧 ∈ Fin))
5554simprbi 484 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
5655adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
57 tsmsmhm.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
5857adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝐶 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻))
5954simplbi 485 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑧𝐴)
60 fssres 6210 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝑧𝐴) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
6114, 59, 60syl2an 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧):𝑧𝐵)
62 fvexd 6344 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
6361, 56, 62fdmfifsupp 8441 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑧) finSupp (0g𝐺))
642, 49, 50, 53, 56, 58, 61, 63gsummhm 18545 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg (𝐶 ∘ (𝐹𝑧))) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
6548, 64syl5eq 2817 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)) = (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧))))
6665mpteq2dva 4878 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐶‘(𝐺 Σg (𝐹𝑧)))))
6746, 66eqtr4d 2808 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧))))
6867fveq2d 6336 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐻 Σg ((𝐶𝐹) ↾ 𝑧)))))
6942, 68eqtr4d 2808 . 2 (𝜑 → (𝐻 tsums (𝐶𝐹)) = ((𝐾 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑦𝑧})))‘(𝐶 ∘ (𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑧))))))
7031, 69eleqtrrd 2853 1 (𝜑 → (𝐶𝑋) ∈ (𝐻 tsums (𝐶𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351   ∩ cin 3722   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4297  ∪ cuni 4574   ↦ cmpt 4863  ran crn 5250   ↾ cres 5251   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  Basecbs 16064  TopOpenctopn 16290  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502   MndHom cmhm 17541  CMndccmn 18400  fBascfbas 19949  filGencfg 19950  TopOnctopon 20935  TopSpctps 20957   Cn ccn 21249   CnP ccnp 21250  Filcfil 21869   fLimf cflf 21959   tsums ctsu 22149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-ntr 21045  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-tsms 22150 This theorem is referenced by:  tsmsinv  22171  esumcocn  30482
 Copyright terms: Public domain W3C validator