MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmslem1 22104
Description: The finite partial sums of a function 𝐹 are defined in a commutative monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmslem1.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmslem1.s 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
tsmslem1.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmslem1.a (𝜑𝐴𝑊)
tsmslem1.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
tsmslem1 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹𝑋)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem tsmslem1
StepHypRef Expression
1 tsmslem1.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2748 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 tsmslem1.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
43adantr 472 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝐺 ∈ CMnd)
5 simpr 479 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋𝑆)
6 tsmslem1.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝐹:𝐴𝐵)
8 tsmslem1.s . . . . 5 𝑆 = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
95, 8syl6eleq 2837 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
10 elfpw 8421 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin))
1110simplbi 478 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑋𝐴)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋𝐴)
137, 12fssresd 6220 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝐹𝑋):𝑋𝐵)
1410simprbi 483 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
159, 14syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → 𝑋 ∈ Fin)
16 fvexd 6352 . . 3 ((𝜑𝑋𝑆) → (0g𝐺) ∈ V)
1713, 15, 16fdmfifsupp 8438 . 2 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝐹𝑋) finSupp (0g𝐺))
181, 2, 4, 5, 13, 17gsumcl 18487 1 ((𝜑𝑋𝑆) → (𝐺 Σg (𝐹𝑋)) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  Vcvv 3328  cin 3702  wss 3703  𝒫 cpw 4290  cres 5256  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  Fincfn 8109  Basecbs 16030  0gc0g 16273   Σg cgsu 16274  CMndccmn 18364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-cntz 17921  df-cmn 18366
This theorem is referenced by:  eltsms  22108  haustsms  22111  tsmscls  22113  tsmsmhm  22121  tsmsadd  22122
  Copyright terms: Public domain W3C validator