MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmsf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmsf1o 21995
Description: Re-index an infinite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmsf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmsf1o.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmsf1o.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmsf1o.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmsf1o.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmsf1o.s (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
Assertion
Ref Expression
tsmsf1o (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums (𝐹𝐻)))

Proof of Theorem tsmsf1o
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑢 𝑦 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmsf1o.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
2 f1opwfi 8311 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴 → (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4 f1of 6175 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
6 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)) = (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))
76fmpt 6421 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑎) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
85, 7sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑎) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
9 sseq1 3659 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐻𝑎) → (𝑦𝑧 ↔ (𝐻𝑎) ⊆ 𝑧))
109imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐻𝑎) → ((𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
1110ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐻𝑎) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
126, 11rexrnmpt 6409 . . . . . . . 8 (∀𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑎) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∃𝑦 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
138, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
14 f1ofo 6182 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
15 forn 6156 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)–onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin) → ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
163, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
1716rexeqdv 3175 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
18 imaeq2 5497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑏 → (𝐻𝑎) = (𝐻𝑏))
1918cbvmptv 4783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑏))
2019fmpt 6421 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎)):(𝒫 𝐶 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
215, 20sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
22 sseq2 3660 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐻𝑏) → ((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 ↔ (𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏)))
23 reseq2 5423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝐻𝑏) → (𝐹𝑧) = (𝐹 ↾ (𝐻𝑏)))
2423oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) = (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))))
2524eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝐻𝑏) → ((𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢))
2622, 25imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐻𝑏) → (((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢)))
2719, 26ralrnmpt 6408 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝐻𝑏) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → (∀𝑧 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢)))
2821, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢)))
2916raleqdv 3174 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ran (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↦ (𝐻𝑎))((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
3028, 29bitr3d 270 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))
32 f1of1 6174 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶1-1𝐴)
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻:𝐶1-1𝐴)
3433ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝐻:𝐶1-1𝐴)
35 elfpw 8309 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↔ (𝑎𝐶𝑎 ∈ Fin))
3635simplbi 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑎𝐶)
3736ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑎𝐶)
38 elfpw 8309 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) ↔ (𝑏𝐶𝑏 ∈ Fin))
3938simplbi 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑏𝐶)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑏𝐶)
41 f1imass 6561 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:𝐶1-1𝐴 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) ↔ 𝑎𝑏))
4234, 37, 40, 41syl12anc 1364 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) ↔ 𝑎𝑏))
43 tsmsf1o.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (Base‘𝐺)
44 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) = (0g𝐺)
45 tsmsf1o.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4645ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝐺 ∈ CMnd)
4738simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ Fin)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin)
49 f1ores 6189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐻:𝐶1-1𝐴𝑏𝐶) → (𝐻𝑏):𝑏1-1-onto→(𝐻𝑏))
5034, 40, 49syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐻𝑏):𝑏1-1-onto→(𝐻𝑏))
51 f1ofo 6182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐻𝑏):𝑏1-1-onto→(𝐻𝑏) → (𝐻𝑏):𝑏onto→(𝐻𝑏))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐻𝑏):𝑏onto→(𝐻𝑏))
53 fofi 8293 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝐻𝑏):𝑏onto→(𝐻𝑏)) → (𝐻𝑏) ∈ Fin)
5448, 52, 53syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐻𝑏) ∈ Fin)
55 tsmsf1o.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
5655ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐴𝐵)
57 imassrn 5512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻𝑏) ⊆ ran 𝐻
581ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → 𝐻:𝐶1-1-onto𝐴)
59 f1ofo 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶onto𝐴)
60 forn 6156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻:𝐶onto𝐴 → ran 𝐻 = 𝐴)
6158, 59, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ran 𝐻 = 𝐴)
6257, 61syl5sseq 3686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐻𝑏) ⊆ 𝐴)
6356, 62fssresd 6109 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ (𝐻𝑏)):(𝐻𝑏)⟶𝐵)
64 fvexd 6241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (0g𝐺) ∈ V)
6563, 54, 64fdmfifsupp 8326 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) finSupp (0g𝐺))
6643, 44, 46, 54, 63, 65, 50gsumf1o 18363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) ∘ (𝐻𝑏))))
67 df-ima 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻𝑏) = ran (𝐻𝑏)
6867eqimss2i 3693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝐻𝑏) ⊆ (𝐻𝑏)
69 cores 5676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran (𝐻𝑏) ⊆ (𝐻𝑏) → ((𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) ∘ (𝐻𝑏)) = (𝐹 ∘ (𝐻𝑏)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) ∘ (𝐻𝑏)) = (𝐹 ∘ (𝐻𝑏))
71 resco 5677 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏) = (𝐹 ∘ (𝐻𝑏))
7270, 71eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) ∘ (𝐻𝑏)) = ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)
7372oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 Σg ((𝐹 ↾ (𝐻𝑏)) ∘ (𝐻𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏))
7466, 73syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) = (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)))
7574eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → ((𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢 ↔ (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))
7642, 75imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) ∧ 𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢) ↔ (𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
7776ralbidva 3014 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ (𝐻𝑏) → (𝐺 Σg (𝐹 ↾ (𝐻𝑏))) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
7831, 77bitr3d 270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)) → (∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
7978rexbidva 3078 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)((𝐻𝑎) ⊆ 𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
8013, 17, 793bitr3d 298 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))
8180imbi2d 329 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))))
8281ralbidv 3015 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢))))
8382anbi2d 740 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))))
84 eqid 2651 . . . 4 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
85 eqid 2651 . . . 4 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
86 tsmsf1o.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
87 tsmsf1o.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
8843, 84, 85, 45, 86, 87, 55eltsms 21983 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∀𝑧 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)(𝑦𝑧 → (𝐺 Σg (𝐹𝑧)) ∈ 𝑢)))))
89 eqid 2651 . . . 4 (𝒫 𝐶 ∩ Fin) = (𝒫 𝐶 ∩ Fin)
90 f1dmex 7178 . . . . 5 ((𝐻:𝐶1-1𝐴𝐴𝑉) → 𝐶 ∈ V)
9133, 87, 90syl2anc 694 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
92 f1of 6175 . . . . . 6 (𝐻:𝐶1-1-onto𝐴𝐻:𝐶𝐴)
931, 92syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐶𝐴)
94 fco 6096 . . . . 5 ((𝐹:𝐴𝐵𝐻:𝐶𝐴) → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
9555, 93, 94syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐻):𝐶𝐵)
9643, 84, 89, 45, 86, 91, 95eltsms 21983 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐻)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑢 ∈ (TopOpen‘𝐺)(𝑥𝑢 → ∃𝑎 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)∀𝑏 ∈ (𝒫 𝐶 ∩ Fin)(𝑎𝑏 → (𝐺 Σg ((𝐹𝐻) ↾ 𝑏)) ∈ 𝑢)))))
9783, 88, 963bitr4d 300 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums (𝐹𝐻))))
9897eqrdv 2649 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐺 tsums (𝐹𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  cmpt 4762  ran crn 5144  cres 5145  cima 5146  ccom 5147  wf 5922  1-1wf1 5923  ontowfo 5924  1-1-ontowf1o 5925  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  TopOpenctopn 16129  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239  TopSpctps 20784   tsums ctsu 21976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tsms 21977
This theorem is referenced by:  esumf1o  30240
  Copyright terms: Public domain W3C validator