MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmscls Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmscls 22160
Description: One half of tgptsmscls 22172, true in any commutative monoid topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmscls.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmscls.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tsmscls.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmscls.2 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
tsmscls.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmscls.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmscls.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tsmscls (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))

Proof of Theorem tsmscls
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmscls.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
2 tsmscls.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 tsmscls.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4 eqid 2770 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin)
5 eqid 2770 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦}) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})
6 tsmscls.2 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
7 tsmscls.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
8 tsmscls.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8tsmsval 22153 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))‘(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))))
102, 3istps 20958 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
116, 10sylib 208 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
12 eqid 2770 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦}) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})
134, 12, 5, 7tsmsfbas 22150 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
14 fgcl 21901 . . . . . . 7 (ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦}) ∈ (fBas‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)))
16 tsmscls.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
172, 4, 16, 7, 8tsmslem1 22151 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐺 Σg (𝐹𝑦)) ∈ 𝐵)
18 eqid 2770 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))
1917, 18fmptd 6527 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵)
20 flfval 22013 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})) ∈ (Fil‘(𝒫 𝐴 ∩ Fin)) ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶𝐵) → ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))‘(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) = (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
2111, 15, 19, 20syl3anc 1475 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽 fLimf ((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))‘(𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦)))) = (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
229, 21eqtrd 2804 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) = (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
231, 22eleqtrd 2851 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
24 flimsncls 22009 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))) → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
2523, 24syl 17 . 2 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐽 fLim ((𝐵 FilMap (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐺 Σg (𝐹𝑦))))‘((𝒫 𝐴 ∩ Fin)filGenran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ {𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∣ 𝑥𝑦})))))
2625, 22sseqtr4d 3789 1 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘{𝑋}) ⊆ (𝐺 tsums 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  {crab 3064  cin 3720  wss 3721  𝒫 cpw 4295  {csn 4314  cmpt 4861  ran crn 5250  cres 5251  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  Basecbs 16063  TopOpenctopn 16289   Σg cgsu 16308  CMndccmn 18399  fBascfbas 19948  filGencfg 19949  TopOnctopon 20934  TopSpctps 20956  clsccl 21042  Filcfil 21868   FilMap cfm 21956   fLim cflim 21957   fLimf cflf 21958   tsums ctsu 22148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-fil 21869  df-flim 21962  df-flf 21963  df-tsms 22149
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  22172
  Copyright terms: Public domain W3C validator