Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskwun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskwun 9808
 Description: A nonempty transitive Tarski class is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
tskwun ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)

Proof of Theorem tskwun
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1131 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → Tr 𝑇)
2 simp3 1132 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ≠ ∅)
3 tskuni 9807 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
433expa 1111 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
543adantl3 1173 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
6 tskpw 9777 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
763ad2antl1 1200 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
8 tskpr 9794 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
983exp 1112 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑇 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)))
1093ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑇 → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)))
1110imp31 404 . . . . 5 ((((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
1211ralrimiva 3115 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇)
135, 7, 123jca 1122 . . 3 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑇) → ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))
1413ralrimiva 3115 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))
15 iswun 9728 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑇 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))))
16153ad2ant1 1127 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → (𝑇 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇 ∧ ∀𝑦𝑇 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑇))))
171, 2, 14, 16mpbir3and 1427 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ WUni)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∅c0 4063  𝒫 cpw 4297  {cpr 4318  ∪ cuni 4574  Tr wtr 4886  WUnicwun 9724  Tarskictsk 9772 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-ac2 9487 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-smo 7596  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-oi 8571  df-har 8619  df-r1 8791  df-card 8965  df-aleph 8966  df-cf 8967  df-acn 8968  df-ac 9139  df-wina 9708  df-ina 9709  df-wun 9726  df-tsk 9773 This theorem is referenced by:  tskxp  9811  tskmap  9812
 Copyright terms: Public domain W3C validator