Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskr1om2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskr1om2 9782
 Description: A nonempty Tarski class contains the whole finite cumulative hierarchy. (This proof does not use ax-inf 8708.) (Contributed by NM, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskr1om2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskr1om2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4592 . . 3 (𝑦 (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦𝑥)
2 r1fnon 8803 . . . . . . . . 9 𝑅1 Fn On
3 fnfun 6149 . . . . . . . . 9 (𝑅1 Fn On → Fun 𝑅1)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun 𝑅1
5 fvelima 6410 . . . . . . . 8 ((Fun 𝑅1𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥)
64, 5mpan 708 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥)
7 r1tr 8812 . . . . . . . . 9 Tr (𝑅1𝑦)
8 treq 4910 . . . . . . . . 9 ((𝑅1𝑦) = 𝑥 → (Tr (𝑅1𝑦) ↔ Tr 𝑥))
97, 8mpbii 223 . . . . . . . 8 ((𝑅1𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
109rexlimivw 3167 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
11 trss 4913 . . . . . . 7 (Tr 𝑥 → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
126, 10, 113syl 18 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
1312adantl 473 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
14 tskr1om 9781 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
1514sseld 3743 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → 𝑥𝑇))
16 tskss 9772 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑥) → 𝑦𝑇)
17163exp 1113 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
1817adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
1915, 18syld 47 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
2019imp 444 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑇))
2113, 20syld 47 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑇))
2221rexlimdva 3169 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦𝑥𝑦𝑇))
231, 22syl5bi 232 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑦 (𝑅1 “ ω) → 𝑦𝑇))
2423ssrdv 3750 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ∪ cuni 4588  Tr wtr 4904   “ cima 5269  Oncon0 5884  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049  ωcom 7230  𝑅1cr1 8798  Tarskictsk 9762 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-r1 8800  df-tsk 9763 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator