MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskr1om2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskr1om2 9782
Description: A nonempty Tarski class contains the whole finite cumulative hierarchy. (This proof does not use ax-inf 8708.) (Contributed by NM, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskr1om2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)

Proof of Theorem tskr1om2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4592 . . 3 (𝑦 (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦𝑥)
2 r1fnon 8803 . . . . . . . . 9 𝑅1 Fn On
3 fnfun 6149 . . . . . . . . 9 (𝑅1 Fn On → Fun 𝑅1)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 Fun 𝑅1
5 fvelima 6410 . . . . . . . 8 ((Fun 𝑅1𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥)
64, 5mpan 708 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → ∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥)
7 r1tr 8812 . . . . . . . . 9 Tr (𝑅1𝑦)
8 treq 4910 . . . . . . . . 9 ((𝑅1𝑦) = 𝑥 → (Tr (𝑅1𝑦) ↔ Tr 𝑥))
97, 8mpbii 223 . . . . . . . 8 ((𝑅1𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
109rexlimivw 3167 . . . . . . 7 (∃𝑦 ∈ ω (𝑅1𝑦) = 𝑥 → Tr 𝑥)
11 trss 4913 . . . . . . 7 (Tr 𝑥 → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
126, 10, 113syl 18 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
1312adantl 473 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑥))
14 tskr1om 9781 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
1514sseld 3743 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → 𝑥𝑇))
16 tskss 9772 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑥) → 𝑦𝑇)
17163exp 1113 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
1817adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥𝑇 → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
1915, 18syld 47 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω) → (𝑦𝑥𝑦𝑇)))
2019imp 444 . . . . 5 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑇))
2113, 20syld 47 . . . 4 (((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)) → (𝑦𝑥𝑦𝑇))
2221rexlimdva 3169 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ (𝑅1 “ ω)𝑦𝑥𝑦𝑇))
231, 22syl5bi 232 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑦 (𝑅1 “ ω) → 𝑦𝑇))
2423ssrdv 3750 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  wss 3715  c0 4058   cuni 4588  Tr wtr 4904  cima 5269  Oncon0 5884  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  cfv 6049  ωcom 7230  𝑅1cr1 8798  Tarskictsk 9762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-r1 8800  df-tsk 9763
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator