Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskpr 9805
 Description: If 𝐴 and 𝐵 are members of a Tarski class, their unordered pair is also an element of the class. JFM CLASSES2 th. 3 (partly). (Contributed by FL, 22-Feb-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
tskpr ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskpr
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
2 prssi 4499 . . 3 ((𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇)
323adant1 1125 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇)
4 prfi 8403 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
5 isfinite 8725 . . . . 5 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
64, 5mpbi 220 . . . 4 {𝐴, 𝐵} ≺ ω
7 ne0i 4065 . . . . 5 (𝐴𝑇𝑇 ≠ ∅)
8 tskinf 9804 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)
97, 8sylan2 492 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → ω ≼ 𝑇)
10 sdomdomtr 8261 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ≺ ω ∧ ω ≼ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
116, 9, 10sylancr 698 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
12113adant3 1127 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇)
13 tskssel 9792 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑇 ∧ {𝐴, 𝐵} ≺ 𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
141, 3, 12, 13syl3anc 1477 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3716  ∅c0 4059  {cpr 4324   class class class wbr 4805  ωcom 7232   ≼ cdom 8122   ≺ csdm 8123  Fincfn 8124  Tarskictsk 9783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-r1 8803  df-tsk 9784 This theorem is referenced by:  tskop  9806  tskwun  9819  tskun  9821  grutsk1  9856
 Copyright terms: Public domain W3C validator