Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskop 9794
 Description: If 𝐴 and 𝐵 are members of a Tarski class, their ordered pair is also an element of the class. JFM CLASSES2 th. 4. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskop ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑇)

Proof of Theorem tskop
StepHypRef Expression
1 dfopg 4535 . . 3 ((𝐴𝑇𝐵𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
213adant1 1123 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
3 simp1 1129 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → 𝑇 ∈ Tarski)
4 tsksn 9783 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇) → {𝐴} ∈ 𝑇)
543adant3 1125 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴} ∈ 𝑇)
6 tskpr 9793 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇)
7 tskpr 9793 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ {𝐴} ∈ 𝑇 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝑇) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ 𝑇)
83, 5, 6, 7syl3anc 1475 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ 𝑇)
92, 8eqeltrd 2849 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝐴𝑇𝐵𝑇) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  {csn 4314  {cpr 4316  ⟨cop 4320  Tarskictsk 9771 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-r1 8790  df-tsk 9772 This theorem is referenced by:  tskxpss  9795
 Copyright terms: Public domain W3C validator