MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tskinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tskinf 9803
Description: A nonempty Tarski class is infinite. (Contributed by FL, 22-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
tskinf ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)

Proof of Theorem tskinf
StepHypRef Expression
1 r111 8813 . . . 4 𝑅1:On–1-1→V
2 omsson 7235 . . . 4 ω ⊆ On
3 omex 8715 . . . . 5 ω ∈ V
43f1imaen 8185 . . . 4 ((𝑅1:On–1-1→V ∧ ω ⊆ On) → (𝑅1 “ ω) ≈ ω)
51, 2, 4mp2an 710 . . 3 (𝑅1 “ ω) ≈ ω
65ensymi 8173 . 2 ω ≈ (𝑅1 “ ω)
7 simpl 474 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → 𝑇 ∈ Tarski)
8 tskr1om 9801 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇)
9 ssdomg 8169 . . 3 (𝑇 ∈ Tarski → ((𝑅1 “ ω) ⊆ 𝑇 → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇))
107, 8, 9sylc 65 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇)
11 endomtr 8181 . 2 ((ω ≈ (𝑅1 “ ω) ∧ (𝑅1 “ ω) ≼ 𝑇) → ω ≼ 𝑇)
126, 10, 11sylancr 698 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑇 ≠ ∅) → ω ≼ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  wne 2932  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  cima 5269  Oncon0 5884  1-1wf1 6046  ωcom 7231  cen 8120  cdom 8121  𝑅1cr1 8800  Tarskictsk 9782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-r1 8802  df-tsk 9783
This theorem is referenced by:  tskpr  9804
  Copyright terms: Public domain W3C validator