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Theorem trufil 21761
Description: Conditions for the trace of an ultrafilter 𝐿 to be an ultrafilter. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trufil ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴𝐿))

Proof of Theorem trufil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ufilfil 21755 . . . 4 ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → (𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
2 ufilfil 21755 . . . . 5 (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
3 trfil3 21739 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
42, 3sylan 487 . . . 4 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
51, 4syl5ib 234 . . 3 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) → ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
64biimprd 238 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
7 elpwi 4201 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
8 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
9 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
10 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴𝑌)
119, 10sstrd 3646 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝑌)
12 ufilss 21756 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (𝑥𝐿 ∨ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿))
138, 11, 12syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐿 ∨ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿))
14 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑌𝐴𝑌)
15 elfvdm 6258 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom UFil)
16 ssexg 4837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom UFil) → 𝐴 ∈ V)
1714, 15, 16syl2anr 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
18 elrestr 16136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐿) → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
19183expia 1286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥𝐿 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴)))
2017, 19syldan 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑥𝐿 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴)))
2120adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐿 → (𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴)))
22 df-ss 3621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴 ↔ (𝑥𝐴) = 𝑥)
239, 22sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐴) = 𝑥)
2423eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴)))
2521, 24sylibd 229 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐿𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴)))
26 indif1 3904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) = ((𝑌𝐴) ∖ 𝑥)
27 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴𝑌)
28 sseqin2 3850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝑌 ↔ (𝑌𝐴) = 𝐴)
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌𝐴) = 𝐴)
3029difeq1d 3760 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌𝐴) ∖ 𝑥) = (𝐴𝑥))
3126, 30syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) = (𝐴𝑥))
32 simpll 805 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐿 ∈ (UFil‘𝑌))
3317adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → 𝐴 ∈ V)
34 simprr 811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)
35 elrestr 16136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿) → ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
3632, 33, 34, 35syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → ((𝑌𝑥) ∩ 𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
3731, 36eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . 10 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿)) → (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴))
3837expr 642 . . . . . . . . 9 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑌𝑥) ∈ 𝐿 → (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
3925, 38orim12d 901 . . . . . . . 8 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐿 ∨ (𝑌𝑥) ∈ 𝐿) → (𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴))))
4013, 39mpd 15 . . . . . . 7 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
417, 40sylan2 490 . . . . . 6 (((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
4241ralrimiva 2995 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))
436, 42jctird 566 . . . 4 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿 → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴)))))
44 isufil 21754 . . . 4 ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴(𝑥 ∈ (𝐿t 𝐴) ∨ (𝐴𝑥) ∈ (𝐿t 𝐴))))
4543, 44syl6ibr 242 . . 3 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿 → (𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴)))
465, 45impbid 202 . 2 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
47 ufilb 21757 . . 3 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ 𝐴𝐿 ↔ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
4847con1bid 344 . 2 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿𝐴𝐿))
4946, 48bitrd 268 1 ((𝐿 ∈ (UFil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (UFil‘𝐴) ↔ 𝐴𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  t crest 16128  Filcfil 21696  UFilcufil 21750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-rest 16130  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-fil 21697  df-ufil 21752
This theorem is referenced by:  ssufl  21769
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