Theorem trpredpo 32061

Description: If 𝑅 partially orders 𝐴, then the transitive predecessors are the same as the immediate predecessors . (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trpredpo	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))

Proof of Theorem trpredpo

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐴)
2		simp3 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝑅 Se 𝐴)
3		predpo 5859	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
4	3	ralrimiv 3103	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
5	4	3adant3 1127	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → ∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
6		ssid 3765	. . . 4 ⊢ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
8		trpredmintr 32057	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (∀𝑦 ∈ Pred (𝑅, 𝐴, 𝑋)Pred(𝑅, 𝐴, 𝑦) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
9	1, 2, 5, 7, 8	syl22anc 1478	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
10		setlikespec 5862	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V)
11		trpredpred 32054	. . . 4 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
13	12	3adant1 1125	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
14	9, 13	eqssd 3761	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → TrPred(𝑅, 𝐴, 𝑋) = Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   Po wpo 5185   Se wse 5223  Predcpred 5840  TrPredctrpred 32043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-trpred 32044

This theorem is referenced by: (None)