Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trpred0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trpred0 31860
Description: The class of transitive predecessors is empty when 𝐴 is empty. (Contributed by Scott Fenton, 30-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
trpred0 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅

Proof of Theorem trpred0
Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑗 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftrpred2 31843 . 2 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖)
2 pred0 5748 . . . . . . . . . . 11 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑎 → Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅)
43iuneq2i 4571 . . . . . . . . 9 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = 𝑦𝑎
5 iun0 4608 . . . . . . . . 9 𝑦𝑎 ∅ = ∅
64, 5eqtri 2673 . . . . . . . 8 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦) = ∅
76mpteq2i 4774 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅)
8 pred0 5748 . . . . . . 7 Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
9 rdgeq12 7554 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)) = (𝑎 ∈ V ↦ ∅) ∧ Pred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅) → rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅))
107, 8, 9mp2an 708 . . . . . 6 rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) = rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅)
1110reseq1i 5424 . . . . 5 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
1211fveq1i 6230 . . . 4 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖)
13 nn0suc 7132 . . . . 5 (𝑖 ∈ ω → (𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗))
14 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅))
15 0ex 4823 . . . . . . . 8 ∅ ∈ V
16 fr0g 7576 . . . . . . . 8 (∅ ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘∅) = ∅
1814, 17syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝑖 = ∅ → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
19 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑎
20 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑎𝑗
21 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)
22 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑗) → ∅ = ∅)
2319, 20, 19, 21, 22frsucmpt 7578 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ ω ∧ ∅ ∈ V) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
2415, 23mpan2 707 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅)
25 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗))
2625eqeq1d 2653 . . . . . . . 8 (𝑖 = suc 𝑗 → (((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅ ↔ ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘suc 𝑗) = ∅))
2724, 26syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅))
2827rexlimiv 3056 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗 → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
2918, 28jaoi 393 . . . . 5 ((𝑖 = ∅ ∨ ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = suc 𝑗) → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3013, 29syl 17 . . . 4 (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∅), ∅) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3112, 30syl5eq 2697 . . 3 (𝑖 ∈ ω → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = ∅)
3231iuneq2i 4571 . 2 𝑖 ∈ ω ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑦𝑎 Pred(𝑅, ∅, 𝑦)), Pred(𝑅, ∅, 𝑋)) ↾ ω)‘𝑖) = 𝑖 ∈ ω ∅
33 iun0 4608 . 2 𝑖 ∈ ω ∅ = ∅
341, 32, 333eqtri 2677 1 TrPred(𝑅, ∅, 𝑋) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 382   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942  Vcvv 3231  c0 3948   ciun 4552  cmpt 4762  cres 5145  Predcpred 5717  suc csuc 5763  cfv 5926  ωcom 7107  reccrdg 7550  TrPredctrpred 31841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-trpred 31842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator