Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trlsegvdeglem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlsegvdeglem6 27405
 Description: Lemma for trlsegvdeg 27407. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
trlsegvdeg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
trlsegvdeg.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
trlsegvdeg.f (𝜑 → Fun 𝐼)
trlsegvdeg.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
trlsegvdeg.u (𝜑𝑈𝑉)
trlsegvdeg.w (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
trlsegvdeg.vx (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
trlsegvdeg.vy (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
trlsegvdeg.vz (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
trlsegvdeg.ix (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
trlsegvdeg.iy (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
trlsegvdeg.iz (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
Assertion
Ref Expression
trlsegvdeglem6 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)

Proof of Theorem trlsegvdeglem6
StepHypRef Expression
1 trlsegvdeg.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 trlsegvdeg.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 trlsegvdeg.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 trlsegvdeg.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
5 trlsegvdeg.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
6 trlsegvdeg.w . . 3 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
7 trlsegvdeg.vx . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑋) = 𝑉)
8 trlsegvdeg.vy . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑌) = 𝑉)
9 trlsegvdeg.vz . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝑍) = 𝑉)
10 trlsegvdeg.ix . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑋) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
11 trlsegvdeg.iy . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑌) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
12 trlsegvdeg.iz . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝑍) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12trlsegvdeglem4 27403 . 2 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼))
142trlf1 26830 . . . . 5 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼)
15 f1fun 6243 . . . . 5 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 → Fun 𝐹)
166, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
17 fzofi 12981 . . . 4 (0..^𝑁) ∈ Fin
18 imafi 8415 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1916, 17, 18sylancl 574 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
20 infi 8340 . . 3 ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∈ Fin → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼) ∈ Fin)
2119, 20syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∩ dom 𝐼) ∈ Fin)
2213, 21eqeltrd 2850 1 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑋) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3722  {csn 4316  ⟨cop 4322   class class class wbr 4786  dom cdm 5249   ↾ cres 5251   “ cima 5252  Fun wfun 6025  –1-1→wf1 6028  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  0cc0 10138  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Vtxcvtx 26095  iEdgciedg 26096  Trailsctrls 26822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-wlks 26730  df-trls 26824 This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  27407  eupth2lem3lem1  27408
 Copyright terms: Public domain W3C validator