Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlnidatb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlnidatb 35986
Description: A lattice translation is not the identity iff its trace is an atom. TODO: Can proofs be reorganized so this goes with trlnidat 35982? Why do both this and ltrnideq 35984 need trlnidat 35982? (Contributed by NM, 4-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlnidatb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlnidatb.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlnidatb.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlnidatb.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlnidatb.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlnidatb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem trlnidatb
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trlnidatb.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 trlnidatb.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 trlnidatb.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trlnidatb.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 trlnidatb.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5trlnidat 35982 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
763expia 1115 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
8 eqid 2761 . . . . . 6 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
98, 2, 3lhpexnle 35814 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
109adantr 472 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
111, 8, 2, 3, 4ltrnideq 35984 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑝) = 𝑝))
12113expa 1112 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑝) = 𝑝))
13 simp1l 1240 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14 simp2 1132 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
15 simp1r 1241 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → 𝐹𝑇)
16 simp3 1133 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
17 eqid 2761 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
188, 17, 2, 3, 4, 5trl0 35979 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
1913, 14, 15, 16, 18syl112anc 1481 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
20193expia 1115 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹𝑝) = 𝑝 → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
21 simplll 815 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
22 hlatl 35169 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2317, 2atn0 35117 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅𝐹) ≠ (0.‘𝐾))
2423ex 449 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ AtLat → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
2521, 22, 243syl 18 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ≠ (0.‘𝐾)))
2625necon2bd 2949 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅𝐹) = (0.‘𝐾) → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2720, 26syld 47 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹𝑝) = 𝑝 → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2812, 27sylbid 230 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2910, 28rexlimddv 3174 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) → ¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
3029necon2ad 2948 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
317, 30impbid 202 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wrex 3052   class class class wbr 4805   I cid 5174  cres 5269  cfv 6050  Basecbs 16080  lecple 16171  0.cp0 17259  Atomscatm 35072  AtLatcal 35073  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  trLctrl 35967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-map 8028  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-p1 17262  df-lat 17268  df-clat 17330  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968
This theorem is referenced by:  trlid0b  35987  cdlemfnid  36373  trlconid  36534  dih1dimb2  37051
  Copyright terms: Public domain W3C validator