Theorem trlle 35789

Description: The trace of a lattice translation is less than the fiducial co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
trlle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
trlle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlle.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlle.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
trlle	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)

Proof of Theorem trlle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trlle.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		trlle.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	lhpocnel 35622	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊))
7		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
8		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
9		trlle.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		trlle.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
11	1, 7, 8, 3, 4, 9, 10	trlval2 35768	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ≤ 𝑊)) → (𝑅‘𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
12	6, 11	mpd3an3 1465	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) = ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊))
13		hllat 34968	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
14	13	ad2antrr 762	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15		hlop 34967	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
16	15	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ OP)
17		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
18	17, 4	lhpbase 35602	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
19	18	ad2antlr 763	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
20	17, 2	opoccl 34799	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
21	16, 19, 20	syl2anc 694	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
22	17, 4, 9	ltrncl 35729	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
23	21, 22	mpd3an3 1465	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
24	17, 7	latjcl 17098	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
25	14, 21, 23, 24	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾))
26	17, 1, 8	latmle2 17124	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ≤ 𝑊)
27	14, 25, 19, 26	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((((oc‘𝐾)‘𝑊)(join‘𝐾)(𝐹‘((oc‘𝐾)‘𝑊)))(meet‘𝐾)𝑊) ≤ 𝑊)
28	12, 27	eqbrtrd 4707	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝑅‘𝐹) ≤ 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  occoc 15996  joincjn 16991  meetcmee 16992  Latclat 17092  OPcops 34777  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  LHypclh 35588  LTrncltrn 35705  trLctrl 35763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-map 7901  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-lhyp 35592  df-laut 35593  df-ldil 35708  df-ltrn 35709  df-trl 35764

This theorem is referenced by:  trlne  35790  cdlemc5  35800  cdlemg6c  36225  cdlemg10c  36244  cdlemg10  36246  cdlemg17dALTN  36269  cdlemg27a  36297  cdlemg31b0N  36299  cdlemg31b0a  36300  cdlemg27b  36301  cdlemg31c  36304  cdlemg35  36318  cdlemh2  36421  cdlemh  36422  cdlemk3  36438  cdlemk9  36444  cdlemk9bN  36445  cdlemk10  36448  cdlemk12  36455  cdlemk14  36459  cdlemk12u  36477  cdlemkfid1N  36526  cdlemk47  36554  dia1N  36659  dia1dim  36667  dia2dimlem1  36670  dia2dimlem10  36679  dib1dim  36771  cdlemn2a  36802  dih1dimb  36846  dihopelvalcpre  36854  dihwN  36895  dihglblem5apreN  36897  dih1dimatlem  36935