Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlid0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlid0 35978
Description: The trace of the identity translation is zero. (Contributed by NM, 11-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlid0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlid0.z 0 = (0.‘𝐾)
trlid0.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlid0.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlid0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )

Proof of Theorem trlid0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2770 . . 3 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 trlid0.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
41, 2, 3lhpexnle 35807 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
5 simpl 468 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
6 simpr 471 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
7 trlid0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2770 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
97, 3, 8idltrn 35951 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
109adantr 466 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
11 eqid 2770 . . . 4 ( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵)
127, 1, 2, 3, 8ltrnideq 35977 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝))
135, 10, 6, 12syl3anc 1475 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵) = ( I ↾ 𝐵) ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝))
1411, 13mpbii 223 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝)
15 trlid0.z . . . 4 0 = (0.‘𝐾)
16 trlid0.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
171, 15, 2, 3, 8, 16trl0 35972 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (( I ↾ 𝐵) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (( I ↾ 𝐵)‘𝑝) = 𝑝)) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )
185, 6, 10, 14, 17syl112anc 1479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )
194, 18rexlimddv 3182 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑅‘( I ↾ 𝐵)) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144   class class class wbr 4784   I cid 5156  cres 5251  cfv 6031  Basecbs 16063  lecple 16155  0.cp0 17244  Atomscatm 35065  HLchlt 35152  LHypclh 35785  LTrncltrn 35902  trLctrl 35960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-map 8010  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961
This theorem is referenced by:  tendoid  36575  tendo0tp  36591  cdlemkid2  36726  cdlemk39s-id  36742  dian0  36842  dihmeetlem4preN  37109
  Copyright terms: Public domain W3C validator