Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcone Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcone 36518
Description: If two translations have different traces, the trace of their composition is also different. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcone.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
trlcone.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcone.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcone.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcone (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))

Proof of Theorem trlcone
StepHypRef Expression
1 simpl3l 1287 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
2 simp11 1246 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp12l 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹𝑇)
4 trlcone.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlcone.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 35935 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
72, 3, 6syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹𝑇)
8 simp12r 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺𝑇)
94, 5ltrnco 36509 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
102, 3, 8, 9syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
11 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
13 trlcone.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1411, 12, 4, 5, 13trlco 36517 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
152, 7, 10, 14syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
16 coass 5815 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺))
17 trlcone.b . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 4, 5ltrn1o 35913 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
192, 3, 18syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
20 f1ococnv1 6326 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐵))
2221coeq1d 5439 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
2317, 4, 5ltrn1o 35913 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
242, 8, 23syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
25 f1of 6298 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐵𝐺:𝐵𝐵)
26 fcoi2 6240 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:𝐵𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2822, 27eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝐹𝐹) ∘ 𝐺) = 𝐺)
2916, 28syl5reqr 2809 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺 = (𝐹 ∘ (𝐹𝐺)))
3029fveq2d 6356 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) = (𝑅‘(𝐹 ∘ (𝐹𝐺))))
31 simp11l 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
32 simp2 1132 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
33 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3412, 33hlatjidm 35158 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
3531, 32, 34syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
364, 5, 13trlcnv 35955 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
372, 3, 36syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
3837eqcomd 2766 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
39 simp3 1133 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺)))
4038, 39oveq12d 6831 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
4135, 40eqtr3d 2796 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = ((𝑅𝐹)(join‘𝐾)(𝑅‘(𝐹𝐺))))
4215, 30, 413brtr4d 4836 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹))
43 hlatl 35150 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
4431, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐾 ∈ AtLat)
45 simp13r 1374 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
4617, 33, 4, 5, 13trlnidat 35963 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
472, 8, 45, 46syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
4811, 33atcmp 35101 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
4944, 47, 32, 48syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → ((𝑅𝐺)(le‘𝐾)(𝑅𝐹) ↔ (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹)))
5042, 49mpbid 222 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐺) = (𝑅𝐹))
5150eqcomd 2766 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
52513expia 1115 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) = (𝑅‘(𝐹𝐺)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)))
5352necon3d 2953 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺))))
541, 53mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
55 simpl3r 1289 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
56 simpl1 1228 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
57 simpl2r 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺𝑇)
58 eqid 2760 . . . . . . . 8 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
5917, 58, 4, 5, 13trlid0b 35968 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
6056, 57, 59syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
6160necon3bid 2976 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾)))
6255, 61mpbid 222 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐺) ≠ (0.‘𝐾))
6362necomd 2987 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ≠ (𝑅𝐺))
64 simpr 479 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾))
65 simpl2l 1283 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹𝑇)
6617, 58, 4, 5, 13trlid0b 35968 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
6756, 65, 66syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
6864, 67mpbird 247 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
6968coeq1d 5439 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺))
7056, 57, 23syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → 𝐺:𝐵1-1-onto𝐵)
7170, 25, 263syl 18 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ 𝐺) = 𝐺)
7269, 71eqtrd 2794 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = 𝐺)
7372fveq2d 6356 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐺))
7463, 64, 733netr4d 3009 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
75 simp1 1131 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
76 simp2l 1242 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → 𝐹𝑇)
7758, 33, 4, 5, 13trlator0 35961 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
7875, 76, 77syl2anc 696 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∨ (𝑅𝐹) = (0.‘𝐾)))
7954, 74, 78mpjaodan 862 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804   I cid 5173  ccnv 5265  cres 5268  ccom 5270  wf 6045  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  joincjn 17145  0.cp0 17238  Atomscatm 35053  AtLatcal 35054  HLchlt 35140  LHypclh 35773  LTrncltrn 35890  trLctrl 35948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-riotaBAD 34742
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-undef 7568  df-map 8025  df-preset 17129  df-poset 17147  df-plt 17159  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-p0 17240  df-p1 17241  df-lat 17247  df-clat 17309  df-oposet 34966  df-ol 34968  df-oml 34969  df-covers 35056  df-ats 35057  df-atl 35088  df-cvlat 35112  df-hlat 35141  df-llines 35287  df-lplanes 35288  df-lvols 35289  df-lines 35290  df-psubsp 35292  df-pmap 35293  df-padd 35585  df-lhyp 35777  df-laut 35778  df-ldil 35893  df-ltrn 35894  df-trl 35949
This theorem is referenced by:  trljco  36530  cdlemh2  36606  cdlemh  36607  cdlemk3  36623  cdlemk12  36640  cdlemk12u  36662  cdlemkfid1N  36711  cdlemk54  36748
  Copyright terms: Public domain W3C validator