Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlcoabs2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlcoabs2N 36531
Description: Absorption of the trace of a composition. (Contributed by NM, 29-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
trlcoabs.l = (le‘𝐾)
trlcoabs.j = (join‘𝐾)
trlcoabs.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trlcoabs.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trlcoabs.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trlcoabs.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlcoabs2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))

Proof of Theorem trlcoabs2N
StepHypRef Expression
1 simp1 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2r 1243 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺𝑇)
3 simp2l 1242 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
4 trlcoabs.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 trlcoabs.t . . . . . . 7 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
64, 5ltrncnv 35954 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
71, 3, 6syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
84, 5ltrnco 36528 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
91, 2, 7, 8syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
10 trlcoabs.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
11 trlcoabs.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1210, 11, 4, 5ltrnel 35947 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
13123adant2r 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊))
14 trlcoabs.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
15 eqid 2761 . . . . 5 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
16 trlcoabs.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1710, 14, 15, 11, 4, 5, 16trlval2 35972 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇 ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊))
181, 9, 13, 17syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊))
1918oveq2d 6831 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)))
20 simp1l 1240 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
21 simp3l 1244 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑃𝐴)
2210, 11, 4, 5ltrnat 35948 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
231, 3, 21, 22syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
2410, 11, 4, 5ltrnat 35948 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴)
251, 9, 23, 24syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴)
26 eqid 2761 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2726, 14, 11hlatjcl 35175 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
2820, 23, 25, 27syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾))
29 simp1r 1241 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊𝐻)
3026, 4lhpbase 35806 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3129, 30syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3210, 14, 11hlatlej1 35183 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) ∈ 𝐴) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))))
3320, 23, 25, 32syl3anc 1477 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))))
3426, 10, 14, 15, 11atmod3i1 35672 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐹𝑃) ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))) → ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)))
3520, 23, 28, 31, 33, 34syl131anc 1490 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)𝑊)) = (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)))
3610, 11, 4, 5ltrncoval 35953 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺𝐹) ∈ 𝑇𝐹𝑇) ∧ 𝑃𝐴) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))
371, 9, 3, 21, 36syl121anc 1482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))
38 coass 5816 . . . . . . . 8 ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (𝐹𝐹))
3926, 4, 5ltrn1o 35932 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
401, 3, 39syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
41 f1ococnv1 6328 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
4342coeq2d 5441 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
4426, 4, 5ltrn1o 35932 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
451, 2, 44syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
46 f1of 6300 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
47 fcoi1 6240 . . . . . . . . . 10 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐺)
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐺)
4943, 48eqtrd 2795 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺 ∘ (𝐹𝐹)) = 𝐺)
5038, 49syl5eq 2807 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹) ∘ 𝐹) = 𝐺)
5150fveq1d 6356 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐺𝐹) ∘ 𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃))
5237, 51eqtr3d 2797 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)) = (𝐺𝑃))
5352oveq2d 6831 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
54 eqid 2761 . . . . . 6 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5510, 14, 54, 11, 4lhpjat2 35829 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐹𝑃) 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
561, 13, 55syl2anc 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) 𝑊) = (1.‘𝐾))
5753, 56oveq12d 6833 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)) = (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)))
58 hlol 35170 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
5920, 58syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐾 ∈ OL)
6010, 11, 4, 5ltrnat 35948 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝑃𝐴) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
611, 2, 21, 60syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐺𝑃) ∈ 𝐴)
6226, 14, 11hlatjcl 35175 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
6320, 23, 61, 62syl3anc 1477 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾))
6426, 15, 54olm11 35036 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6559, 63, 64syl2anc 696 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) (𝐺𝑃))(meet‘𝐾)(1.‘𝐾)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6657, 65eqtrd 2795 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐹𝑃) ((𝐺𝐹)‘(𝐹𝑃)))(meet‘𝐾)((𝐹𝑃) 𝑊)) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
6719, 35, 663eqtrd 2799 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐹𝑃) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝐹𝑃) (𝐺𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140   class class class wbr 4805   I cid 5174  ccnv 5266  cres 5269  ccom 5271  wf 6046  1-1-ontowf1o 6049  cfv 6050  (class class class)co 6815  Basecbs 16080  lecple 16171  joincjn 17166  meetcmee 17167  1.cp1 17260  OLcol 34983  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  trLctrl 35967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-riotaBAD 34761
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-undef 7570  df-map 8028  df-preset 17150  df-poset 17168  df-plt 17180  df-lub 17196  df-glb 17197  df-join 17198  df-meet 17199  df-p0 17261  df-p1 17262  df-lat 17268  df-clat 17330  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-llines 35306  df-lplanes 35307  df-lvols 35308  df-lines 35309  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968
This theorem is referenced by:  cdlemkfid1N  36730
  Copyright terms: Public domain W3C validator