Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlator0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlator0 35979
Description: The trace of a lattice translation is an atom or zero. (Contributed by NM, 5-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trl0a.z 0 = (0.‘𝐾)
trl0a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trl0a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trl0a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trl0a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlator0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlator0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2933 . . . 4 ((𝑅𝐹) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑅𝐹) = 0 )
2 eqid 2760 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 trl0a.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 trl0a.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexnle 35813 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
65ad2antrr 764 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
7 simplll 815 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simpr 479 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
9 simpllr 817 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐹𝑇)
10 simplr 809 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
117adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
139adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → 𝐹𝑇)
14 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
15 trl0a.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0.‘𝐾)
16 trl0a.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 trl0a.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
182, 15, 3, 4, 16, 17trl0 35978 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝)) → (𝑅𝐹) = 0 )
1911, 12, 13, 14, 18syl112anc 1481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑅𝐹) = 0 )
2019ex 449 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹𝑝) = 𝑝 → (𝑅𝐹) = 0 ))
2120necon3d 2953 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅𝐹) ≠ 0 → (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
2210, 21mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)
232, 3, 4, 16, 17trlat 35977 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
247, 8, 9, 22, 23syl112anc 1481 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
256, 24rexlimddv 3173 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
2625ex 449 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ≠ 0 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
271, 26syl5bir 233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (¬ (𝑅𝐹) = 0 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2827orrd 392 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) = 0 ∨ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2928orcomd 402 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  lecple 16170  0.cp0 17258  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  trLctrl 35966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967
This theorem is referenced by:  trlatn0  35980  cdlemg31b0a  36503  trlcone  36536  cdlemkfid1N  36729  tendoex  36783  dia2dimlem2  36874  dia2dimlem3  36875
  Copyright terms: Public domain W3C validator