Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlator0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlator0 35979
 Description: The trace of a lattice translation is an atom or zero. (Contributed by NM, 5-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trl0a.z 0 = (0.‘𝐾)
trl0a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trl0a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trl0a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trl0a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlator0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = 0 ))

Proof of Theorem trlator0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2933 . . . 4 ((𝑅𝐹) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑅𝐹) = 0 )
2 eqid 2760 . . . . . . . 8 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 trl0a.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 trl0a.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexnle 35813 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
65ad2antrr 764 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑝𝐴 ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)
7 simplll 815 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8 simpr 479 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
9 simpllr 817 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → 𝐹𝑇)
10 simplr 809 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
117adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊))
139adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → 𝐹𝑇)
14 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝐹𝑝) = 𝑝)
15 trl0a.z . . . . . . . . . . . 12 0 = (0.‘𝐾)
16 trl0a.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
17 trl0a.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
182, 15, 3, 4, 16, 17trl0 35978 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝)) → (𝑅𝐹) = 0 )
1911, 12, 13, 14, 18syl112anc 1481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) ∧ (𝐹𝑝) = 𝑝) → (𝑅𝐹) = 0 )
2019ex 449 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝐹𝑝) = 𝑝 → (𝑅𝐹) = 0 ))
2120necon3d 2953 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → ((𝑅𝐹) ≠ 0 → (𝐹𝑝) ≠ 𝑝))
2210, 21mpd 15 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)
232, 3, 4, 16, 17trlat 35977 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝐹𝑝) ≠ 𝑝)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
247, 8, 9, 22, 23syl112anc 1481 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
256, 24rexlimddv 3173 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ 0 ) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴)
2625ex 449 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ≠ 0 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
271, 26syl5bir 233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (¬ (𝑅𝐹) = 0 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2827orrd 392 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) = 0 ∨ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
2928orcomd 402 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∃wrex 3051   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  lecple 16170  0.cp0 17258  Atomscatm 35071  HLchlt 35158  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  trLctrl 35966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-map 8027  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967 This theorem is referenced by:  trlatn0  35980  cdlemg31b0a  36503  trlcone  36536  cdlemkfid1N  36729  tendoex  36783  dia2dimlem2  36874  dia2dimlem3  36875
 Copyright terms: Public domain W3C validator