Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trlatn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trlatn0 35981
Description: The trace of a lattice translation is an atom iff it is nonzero. (Contributed by NM, 14-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trl0a.z 0 = (0.‘𝐾)
trl0a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
trl0a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trl0a.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trl0a.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trlatn0 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))

Proof of Theorem trlatn0
StepHypRef Expression
1 hlatl 35169 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21ad3antrrr 709 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 trl0a.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
4 trl0a.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4atn0 35117 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
62, 5sylancom 576 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴) → (𝑅𝐹) ≠ 0 )
76ex 397 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
8 trl0a.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 trl0a.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 trl0a.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
113, 4, 8, 9, 10trlator0 35980 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ∨ (𝑅𝐹) = 0 ))
1211ord 853 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (¬ (𝑅𝐹) ∈ 𝐴 → (𝑅𝐹) = 0 ))
1312necon1ad 2960 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ≠ 0 → (𝑅𝐹) ∈ 𝐴))
147, 13impbid 202 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → ((𝑅𝐹) ∈ 𝐴 ↔ (𝑅𝐹) ≠ 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cfv 6031  0.cp0 17245  Atomscatm 35072  AtLatcal 35073  HLchlt 35159  LHypclh 35792  LTrncltrn 35909  trLctrl 35967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-map 8011  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-lhyp 35796  df-laut 35797  df-ldil 35912  df-ltrn 35913  df-trl 35968
This theorem is referenced by:  trlid0b  35987  cdlemg12e  36456  trlcoat  36532
  Copyright terms: Public domain W3C validator