MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trgcopyeulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trgcopyeulem 25867
Description: Lemma for trgcopyeu 25868. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcopy.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
trgcopy.m = (dist‘𝐺)
trgcopy.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
trgcopy.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
trgcopy.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
trgcopy.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
trgcopy.a (𝜑𝐴𝑃)
trgcopy.b (𝜑𝐵𝑃)
trgcopy.c (𝜑𝐶𝑃)
trgcopy.d (𝜑𝐷𝑃)
trgcopy.e (𝜑𝐸𝑃)
trgcopy.f (𝜑𝐹𝑃)
trgcopy.1 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
trgcopy.2 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
trgcopy.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
trgcopyeulem.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
trgcopyeulem.x (𝜑𝑋𝑃)
trgcopyeulem.y (𝜑𝑌𝑃)
trgcopyeulem.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
trgcopyeulem.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
trgcopyeulem.3 (𝜑𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
trgcopyeulem.4 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
Assertion
Ref Expression
trgcopyeulem (𝜑𝑋 = 𝑌)
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐵,𝑎,𝑏,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐸,𝑎,𝑏,𝑡   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡   𝐾,𝑎   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑡,𝑏)

Proof of Theorem trgcopyeulem
StepHypRef Expression
1 trgcopy.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 trgcopy.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 trgcopy.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 trgcopy.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 trgcopy.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 trgcopy.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
7 trgcopy.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
8 trgcopy.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
9 trgcopy.1 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
101, 5, 3, 4, 6, 7, 8, 9ncoltgdim2 25630 . 2 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
11 eqid 2748 . 2 ((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))
12 trgcopy.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
13 trgcopy.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
14 trgcopy.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
15 trgcopy.2 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
161, 3, 5, 4, 12, 13, 14, 15ncolne1 25690 . . 3 (𝜑𝐷𝐸)
171, 3, 5, 4, 12, 13, 16tgelrnln 25695 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
18 trgcopyeulem.x . 2 (𝜑𝑋𝑃)
19 trgcopyeulem.y . 2 (𝜑𝑌𝑃)
20 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
214ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2217ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
23 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
241, 5, 3, 21, 22, 23tglnpt 25614 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡𝑃)
25 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 ((pInvG‘𝐺)‘𝑡) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑡)
261, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 19lmicl 25848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ 𝑃)
2726ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ 𝑃)
2818ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋𝑃)
2912ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐷𝑃)
3013ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐸𝑃)
31 eqid 2748 . . . . . . . . . . . . 13 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
3216ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐷𝐸)
3332necomd 2975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐸𝐷)
341, 3, 5, 21, 30, 29, 24, 33, 23lncom 25687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝐸𝐿𝐷))
3534orcd 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑡 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
361, 5, 3, 21, 30, 29, 24, 35colrot1 25624 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝑡) ∨ 𝐷 = 𝑡))
37 trgcopyeulem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
381, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 18, 37cgr3simp3 25587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝑋 𝐷))
391, 2, 3, 4, 7, 8, 18, 12, 38tgcgrcomlr 25545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝑋))
40 trgcopyeulem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
411, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 19, 40cgr3simp3 25587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝑌 𝐷))
421, 2, 3, 4, 7, 8, 19, 12, 41tgcgrcomlr 25545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝑌))
4339, 42eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐷 𝑋) = (𝐷 𝑌))
441, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 12, 19lmiiso 25859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 𝑌))
451, 3, 5, 4, 12, 13, 16tglinerflx1 25698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐷 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
461, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 12, 45lmicinv 25855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) = 𝐷)
4746oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
4843, 44, 473eqtr2d 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
4948ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
501, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 18, 37cgr3simp2 25586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝑋))
511, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 19, 40cgr3simp2 25586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝑌))
5250, 51eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸 𝑋) = (𝐸 𝑌))
531, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 13, 19lmiiso 25859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 𝑌))
541, 3, 5, 4, 12, 13, 16tglinerflx2 25699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
551, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 13, 54lmicinv 25855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) = 𝐸)
5655oveq1d 6816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
5752, 53, 563eqtr2d 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
5857ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
591, 5, 3, 21, 29, 30, 24, 31, 28, 27, 2, 32, 36, 49, 58lncgr 25634 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑡 𝑋) = (𝑡 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
60 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
611, 2, 3, 5, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 59, 60ismir 25724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
6261eqcomd 2754 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑋)
631, 2, 3, 5, 20, 21, 24, 25, 27, 62mircom 25728 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
6463eqcomd 2754 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))
6510ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐺DimTarskiG≥2)
661, 2, 3, 21, 65, 28, 27, 20, 24ismidb 25840 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋) ↔ (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑡))
6764, 66mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑡)
6867, 23eqeltrd 2827 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸))
69 trgcopyeulem.o . . . . . . . . . 10 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
70 trgcopyeulem.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
71 trgcopyeulem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
721, 3, 5, 4, 17, 18, 69, 14, 71hpgcom 25829 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋)
731, 3, 5, 4, 17, 19, 69, 14, 70, 18, 72hpgtr 25830 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋)
741, 3, 5, 69, 4, 17, 19, 14, 70hpgne1 25823 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
751, 2, 3, 5, 4, 10, 17, 69, 11, 19, 74lmiopp 25864 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
761, 3, 5, 69, 4, 17, 19, 18, 26, 75lnopp2hpgb 25825 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ↔ 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋))
7773, 76mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
781, 2, 3, 69, 18, 26islnopp 25801 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ↔ ((¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))))
7977, 78mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → ((¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
8079simprd 482 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
8168, 80r19.29a 3204 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸))
8221adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8322adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
841, 2, 3, 69, 5, 17, 4, 18, 26, 77oppne3 25805 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
851, 3, 5, 4, 18, 26, 84tgelrnln 25695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8685ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8786adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8884ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋 ≠ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
891, 3, 5, 21, 28, 27, 24, 88, 60btwnlng1 25684 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
9023, 89elind 3929 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
9190adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
9254ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
931, 3, 5, 4, 18, 26, 84tglinerflx1 25698 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
9493ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
95 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸𝑡)
9679simplld 808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
9796ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
98 nelne2 3017 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝑡𝑋)
9923, 97, 98syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡𝑋)
10099necomd 2975 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋𝑡)
101100adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋𝑡)
10264oveq2d 6817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
10358, 102eqtrd 2782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
104103adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
10530adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸𝑃)
10624adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑡𝑃)
10728adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋𝑃)
1081, 2, 3, 5, 20, 82, 105, 106, 107israg 25762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (⟨“𝐸𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))))
109104, 108mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → ⟨“𝐸𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1101, 2, 3, 5, 82, 83, 87, 91, 92, 94, 95, 101, 109ragperp 25782 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
11121adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11222adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
11386adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
11490adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
11545ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
11693ad3antrrr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
117 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷𝑡)
118100adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋𝑡)
11964oveq2d 6817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
12049, 119eqtrd 2782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
121120adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
12229adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷𝑃)
12324adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑡𝑃)
12428adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋𝑃)
1251, 2, 3, 5, 20, 111, 122, 123, 124israg 25762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (⟨“𝐷𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))))
126121, 125mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → ⟨“𝐷𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1271, 2, 3, 5, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 126ragperp 25782 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
128 neneor 3019 . . . . . . . . 9 (𝐸𝐷 → (𝐸𝑡𝐷𝑡))
12933, 128syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸𝑡𝐷𝑡))
130110, 127, 129mpjaodan 862 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
131130orcd 406 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
132131, 80r19.29a 3204 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
13381, 132jca 555 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
1341, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 18, 26islmib 25849 . . . 4 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋) ↔ ((𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))))
135133, 134mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋))
136135eqcomd 2754 . 2 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
1371, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 18, 19, 136lmieq 25853 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  wrex 3039  cdif 3700  cin 3702   class class class wbr 4792  {copab 4852  ran crn 5255  cfv 6037  (class class class)co 6801  2c2 11233  ⟨“cs3 13758  Basecbs 16030  distcds 16123  TarskiGcstrkg 25499  DimTarskiGcstrkgld 25503  Itvcitv 25505  LineGclng 25506  cgrGccgrg 25575  hlGchlg 25665  pInvGcmir 25717  ∟Gcrag 25758  ⟂Gcperpg 25760  hpGchpg 25819  midGcmid 25834  lInvGclmi 25835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-hash 13283  df-word 13456  df-concat 13458  df-s1 13459  df-s2 13764  df-s3 13765  df-trkgc 25517  df-trkgb 25518  df-trkgcb 25519  df-trkgld 25521  df-trkg 25522  df-cgrg 25576  df-leg 25648  df-hlg 25666  df-mir 25718  df-rag 25759  df-perpg 25761  df-hpg 25820  df-mid 25836  df-lmi 25837
This theorem is referenced by:  trgcopyeu  25868  acopyeu  25895
  Copyright terms: Public domain W3C validator