MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfil3 21914
Description: Conditions for the trace of a filter 𝐿 to be a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil3 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))

Proof of Theorem trfil3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 trfil2 21913 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
2 dfral2 3133 . . 3 (∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅)
3 nne 2937 . . . . . . . 8 (¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑣𝐴) = ∅)
4 filelss 21878 . . . . . . . . 9 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → 𝑣𝑌)
5 reldisj 4164 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑌 → ((𝑣𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → ((𝑣𝐴) = ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
73, 6syl5bb 272 . . . . . . 7 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝑣𝐿) → (¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
87rexbidva 3188 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
98adantr 472 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
10 difssd 3882 . . . . . 6 (𝐴𝑌 → (𝑌𝐴) ⊆ 𝑌)
11 elfilss 21902 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ (𝑌𝐴) ⊆ 𝑌) → ((𝑌𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
1210, 11sylan2 492 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝑌𝐴) ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑣𝐿 𝑣 ⊆ (𝑌𝐴)))
139, 12bitr4d 271 . . . 4 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
1413notbid 307 . . 3 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∃𝑣𝐿 ¬ (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
152, 14syl5bb 272 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∀𝑣𝐿 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
161, 15bitrd 268 1 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐿t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ↔ ¬ (𝑌𝐴) ∈ 𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  wrex 3052  cdif 3713  cin 3715  wss 3716  c0 4059  cfv 6050  (class class class)co 6815  t crest 16304  Filcfil 21871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-rest 16306  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-fil 21872
This theorem is referenced by:  fgtr  21916  trufil  21936  flimrest  22009  fclsrest  22050  cfilres  23315  relcmpcmet  23336
  Copyright terms: Public domain W3C validator