Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfil1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfil1 21737
 Description: Conditions for the trace of a filter 𝐿 to be a filter. (Contributed by FL, 2-Sep-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfil1 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 = (𝐿t 𝐴))

Proof of Theorem trfil1
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴𝑌)
2 sseqin2 3850 . . . . 5 (𝐴𝑌 ↔ (𝑌𝐴) = 𝐴)
31, 2sylib 208 . . . 4 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑌𝐴) = 𝐴)
4 simpl 472 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐿 ∈ (Fil‘𝑌))
5 id 22 . . . . . 6 (𝐴𝑌𝐴𝑌)
6 filtop 21706 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) → 𝑌𝐿)
7 ssexg 4837 . . . . . 6 ((𝐴𝑌𝑌𝐿) → 𝐴 ∈ V)
85, 6, 7syl2anr 494 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
96adantr 480 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑌𝐿)
10 elrestr 16136 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑌𝐿) → (𝑌𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
114, 8, 9, 10syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝑌𝐴) ∈ (𝐿t 𝐴))
123, 11eqeltrrd 2731 . . 3 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ (𝐿t 𝐴))
13 elssuni 4499 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐿t 𝐴) → 𝐴 (𝐿t 𝐴))
1412, 13syl 17 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 (𝐿t 𝐴))
15 restsspw 16139 . . . 4 (𝐿t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
16 sspwuni 4643 . . . 4 ((𝐿t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴 (𝐿t 𝐴) ⊆ 𝐴)
1715, 16mpbi 220 . . 3 (𝐿t 𝐴) ⊆ 𝐴
1817a1i 11 . 2 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (𝐿t 𝐴) ⊆ 𝐴)
1914, 18eqssd 3653 1 ((𝐿 ∈ (Fil‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 = (𝐿t 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  ∪ cuni 4468  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↾t crest 16128  Filcfil 21696 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-rest 16130  df-fbas 19791  df-fil 21697 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator