MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfbas 21874
Description: Conditions for the trace of a filter base 𝐹 to be a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfbas ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑣)

Proof of Theorem trfbas
StepHypRef Expression
1 trfbas2 21873 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴)))
2 elfvdm 6360 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) → 𝑌 ∈ dom fBas)
3 ssexg 4934 . . . . . . 7 ((𝐴𝑌𝑌 ∈ dom fBas) → 𝐴 ∈ V)
43ancoms 469 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ dom fBas ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
52, 4sylan 490 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐴 ∈ V)
6 elrest 16302 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴 ∈ V) → (∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
75, 6syldan 489 . . . 4 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
87notbid 307 . . 3 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴)))
9 nesym 2997 . . . . 5 ((𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∅ = (𝑣𝐴))
109ralbii 3127 . . . 4 (∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ∀𝑣𝐹 ¬ ∅ = (𝑣𝐴))
11 ralnex 3139 . . . 4 (∀𝑣𝐹 ¬ ∅ = (𝑣𝐴) ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴))
1210, 11bitri 264 . . 3 (∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑣𝐹 ∅ = (𝑣𝐴))
138, 12syl6bbr 278 . 2 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → (¬ ∅ ∈ (𝐹t 𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
141, 13bitrd 268 1 ((𝐹 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → ((𝐹t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ↔ ∀𝑣𝐹 (𝑣𝐴) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wne 2941  wral 3059  wrex 3060  Vcvv 3348  cin 3719  wss 3720  c0 4060  dom cdm 5248  cfv 6030  (class class class)co 6791  t crest 16295  fBascfbas 19955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-rest 16297  df-fbas 19964
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator