Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trclfvcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trclfvcom 38536
Description: The transitive closure of a relation commutes with the relation. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
trclfvcom (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))

Proof of Theorem trclfvcom
Dummy variables 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3353 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 relexpsucnnr 13985 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑛 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
3 relexpsucnnl 13992 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅𝑟(𝑛 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
42, 3eqtr3d 2797 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
54iuneq2dv 4695 . . 3 (𝑅 ∈ V → 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
6 oveq1 6822 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
76iuneq2d 4700 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
8 dftrcl3 38533 . . . . . 6 t+ = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ (𝑟𝑟𝑛))
9 nnex 11239 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
10 ovex 6843 . . . . . . 7 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
119, 10iunex 7314 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
127, 8, 11fvmpt 6446 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (t+‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛))
1312coeq1d 5440 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
14 coiun1 38465 . . . 4 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅)
1513, 14syl6eq 2811 . . 3 (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ ((𝑅𝑟𝑛) ∘ 𝑅))
1612coeq2d 5441 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = (𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛)))
17 coiun 5807 . . . 4 (𝑅 𝑛 ∈ ℕ (𝑅𝑟𝑛)) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛))
1816, 17syl6eq 2811 . . 3 (𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)) = 𝑛 ∈ ℕ (𝑅 ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
195, 15, 183eqtr4d 2805 . 2 (𝑅 ∈ V → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))
201, 19syl 17 1 (𝑅𝑉 → ((t+‘𝑅) ∘ 𝑅) = (𝑅 ∘ (t+‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  Vcvv 3341   ciun 4673  ccom 5271  cfv 6050  (class class class)co 6815  1c1 10150   + caddc 10152  cn 11233  t+ctcl 13946  𝑟crelexp 13980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-seq 13017  df-trcl 13948  df-relexp 13981
This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  38542
  Copyright terms: Public domain W3C validator