MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tpfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tpfi 8277
Description: An unordered triple is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
tpfi {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin

Proof of Theorem tpfi
StepHypRef Expression
1 df-tp 4215 . 2 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
2 prfi 8276 . . 3 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3 snfi 8079 . . 3 {𝐶} ∈ Fin
4 unfi 8268 . . 3 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ {𝐶} ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin)
52, 3, 4mp2an 708 . 2 ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}) ∈ Fin
61, 5eqeltri 2726 1 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  cun 3605  {csn 4210  {cpr 4212  {ctp 4214  Fincfn 7997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001
This theorem is referenced by:  hashge3el3dif  13306  sumtp  14522  lcmftp  15396  perfectlem2  25000  prodtp  29701  hgt750lemg  30860  limsupequzlem  40272  fourierdlem102  40743  fourierdlem114  40755  etransclem48  40817  perfectALTVlem2  41956
  Copyright terms: Public domain W3C validator