Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tosglblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tosglblem 29999
Description: Lemma for tosglb 30000 and xrsclat 30010. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.) (Revised by NM, 15-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
tosglb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
tosglb.l < = (lt‘𝐾)
tosglb.1 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
tosglb.2 (𝜑𝐴𝐵)
tosglb.e = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
tosglblem ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑑, <   𝐴,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐵,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝐾,𝑎,𝑏,𝑐   𝜑,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐾(𝑑)   (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem tosglblem
StepHypRef Expression
1 tosglb.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Toset)
21ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐾 ∈ Toset)
3 tosglb.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐵)
43adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐴𝐵)
54sselda 3744 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
6 simplr 809 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑎𝐵)
7 tosglb.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 tosglb.e . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
9 tosglb.l . . . . . . 7 < = (lt‘𝐾)
107, 8, 9tltnle 29992 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑏𝐵𝑎𝐵) → (𝑏 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑏))
112, 5, 6, 10syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑏 < 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 𝑏))
1211con2bid 343 . . . 4 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑎 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑎))
1312ralbidva 3123 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎))
143ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝐴𝐵)
15 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐴)
1614, 15sseldd 3745 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → 𝑏𝐵)
177, 8, 9tltnle 29992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
181, 17syl3an1 1167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑏𝐵𝑐𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
19183com23 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝐵𝑏𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
20193expa 1112 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑏))
2120con2bid 343 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑐 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑐))
2216, 21syldan 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐵) ∧ 𝑏𝐴) → (𝑐 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑐))
2322ralbidva 3123 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑐))
24 breq1 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 < 𝑐𝑑 < 𝑐))
2524notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑑 → (¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑑 < 𝑐))
2625cbvralv 3310 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ ∀𝑑𝐴 ¬ 𝑑 < 𝑐)
27 ralnex 3130 . . . . . . . . . 10 (∀𝑑𝐴 ¬ 𝑑 < 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)
2826, 27bitri 264 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑐 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)
2923, 28syl6bb 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
3029adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏 ↔ ¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
311ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝐾 ∈ Toset)
32 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑎𝐵)
33 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → 𝑐𝐵)
347, 8, 9tltnle 29992 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Toset ∧ 𝑎𝐵𝑐𝐵) → (𝑎 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑎))
3531, 32, 33, 34syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑎 < 𝑐 ↔ ¬ 𝑐 𝑎))
3635con2bid 343 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → (𝑐 𝑎 ↔ ¬ 𝑎 < 𝑐))
3730, 36imbi12d 333 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐 → ¬ 𝑎 < 𝑐)))
38 con34b 305 . . . . . 6 ((𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐) ↔ (¬ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐 → ¬ 𝑎 < 𝑐))
3937, 38syl6bbr 278 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑐𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)))
4039ralbidva 3123 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)))
41 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 < 𝑏𝑎 < 𝑐))
42 breq2 4808 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑐 → (𝑑 < 𝑏𝑑 < 𝑐))
4342rexbidv 3190 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → (∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏 ↔ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
4441, 43imbi12d 333 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏) ↔ (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐)))
4544cbvralv 3310 . . . 4 (∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏) ↔ ∀𝑐𝐵 (𝑎 < 𝑐 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑐))
4640, 45syl6bbr 278 . . 3 ((𝜑𝑎𝐵) → (∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎) ↔ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏)))
4713, 46anbi12d 749 . 2 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏))))
48 vex 3343 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
49 vex 3343 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
5048, 49brcnv 5460 . . . . 5 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑎)
5150notbii 309 . . . 4 𝑎 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏 < 𝑎)
5251ralbii 3118 . . 3 (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ↔ ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎)
5349, 48brcnv 5460 . . . . 5 (𝑏 < 𝑎𝑎 < 𝑏)
54 vex 3343 . . . . . . 7 𝑑 ∈ V
5549, 54brcnv 5460 . . . . . 6 (𝑏 < 𝑑𝑑 < 𝑏)
5655rexbii 3179 . . . . 5 (∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑 ↔ ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏)
5753, 56imbi12i 339 . . . 4 ((𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏))
5857ralbii 3118 . . 3 (∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑) ↔ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏))
5952, 58anbi12i 735 . 2 ((∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑏 < 𝑎 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑑𝐴 𝑑 < 𝑏)))
6047, 59syl6bbr 278 1 ((𝜑𝑎𝐵) → ((∀𝑏𝐴 𝑎 𝑏 ∧ ∀𝑐𝐵 (∀𝑏𝐴 𝑐 𝑏𝑐 𝑎)) ↔ (∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎 < 𝑏 ∧ ∀𝑏𝐵 (𝑏 < 𝑎 → ∃𝑑𝐴 𝑏 < 𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  wss 3715   class class class wbr 4804  ccnv 5265  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  ltcplt 17162  Tosetctos 17254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-toset 17255
This theorem is referenced by:  tosglb  30000  xrsclat  30010
  Copyright terms: Public domain W3C validator